Упр.1534 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1534. Докажите, что ?-?=?/4, если ? и ? — острые углы и tg(?)=2 1/3 и tg(?)=2/5.

Используем формулу тангенса разности:

$$\tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}.$$

По условию:

$$0<a<\frac{\pi}{2}, \quad 0<\beta<\frac{\pi}{2}, \quad \tg a=2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}, \quad \tg \beta=\frac{2}{5}.$$

Тогда

$$ \tg(a-\beta)=\frac{\frac{7}{3}-\frac{2}{5}}{1+\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5}} =\frac{\frac{35-6}{15}}{1+\frac{14}{15}} =\frac{\frac{29}{15}}{\frac{29}{15}} =1. $$

Так как углы $a$ и $\beta$ острые, то разность $a-\beta$ лежит между $0$ и $\frac{\pi}{2}$, а значит, если $\tg(a-\beta)=1$, то

$$a-\beta=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

$$a-\beta=\frac{\pi}{4}.$$