Упр.1532 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Выразите:
- $$\operatorname{ctg}(?+?)$$ и $$\operatorname{ctg}(?-?)$$ через $$\operatorname{ctg}(?)$$ и $$\operatorname{ctg}(?)$$;
- $$\frac{\operatorname{tg}(?)+\operatorname{tg}(?)}{\operatorname{tg}(?)-\operatorname{tg}(?)}$$ через $$\sin(?+?)$$ и $$\sin(?-?)$$;
- $$\frac{\operatorname{ctg}(?)+\operatorname{ctg}(?)}{\operatorname{ctg}(?)-\operatorname{ctg}(?)}$$ через $$\cos(?+?)$$ и $$\cos(?-?)$$;
- $$\operatorname{tg}(?+?+?)$$ через $$\operatorname{tg}(?)$$, $$\operatorname{tg}(?)$$ и $$\operatorname{tg}(?)$$.
а) Используем формулы сложения и вычитания для котангенса:
$$\ctg(\alpha+\beta)=\frac{1-\tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha+\tg\beta} =\frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\beta+\ctg\alpha},$$
$$\ctg(\alpha-\beta)=\frac{1+\tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha-\tg\beta} =\frac{\ctg\alpha\ctg\beta+1}{\ctg\beta-\ctg\alpha}.$$
б) Преобразуем дробь, выразив тангенсы через синусы и косинусы:
$$\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{\tg\alpha-\tg\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}.$$
в) Аналогично:
$$\frac{\ctg\alpha+\ctg\beta}{\ctg\alpha-\ctg\beta} = \frac{\sin\beta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\beta}{\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta} = -\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}.$$
г) Сначала применим формулу для суммы двух тангенсов:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}.$$
Тогда
$$\tg(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\tg(\alpha+\beta)+\tg\gamma}{1-\tg(\alpha+\beta)\tg\gamma} = \frac{\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}+\tg\gamma} {1-\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}\tg\gamma}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\tg(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma-\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma} {1-\tg\alpha\tg\beta-\tg\alpha\tg\gamma-\tg\beta\tg\gamma}.$$
Ответ
$$\ctg(\alpha+\beta)=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\alpha+\ctg\beta},\qquad \ctg(\alpha-\beta)=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta+1}{\ctg\beta-\ctg\alpha};$$
$$\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{\tg\alpha-\tg\beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)};$$
$$\frac{\ctg\alpha+\ctg\beta}{\ctg\alpha-\ctg\beta}=-\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)};$$
$$\tg(\alpha+\beta+\gamma)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma-\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma} {1-\tg\alpha\tg\beta-\tg\alpha\tg\gamma-\tg\beta\tg\gamma}.$$
