Упр.1532 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) ctg(?+?) и ctg(?-?) через ctg(?) и ctg(?);
б) (tg(?)+tg(?))/(tg(?)-tg(?)) через sin(?+?) и sin(?-?);
в) (ctg(?)+ctg(?))/(ctg(?)-ctg(?)) через cos(?+?) и cos(?-?);
г) tg(?+?+?) через tg(?), tg(?) и tg(?).

а) Используем формулы сложения и вычитания для котангенса:

$$ \ctg(\alpha+\beta)=\frac{1-\tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha+\tg\beta} =\frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\beta+\ctg\alpha}, $$
$$ \ctg(\alpha-\beta)=\frac{1+\tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha-\tg\beta} =\frac{\ctg\alpha\ctg\beta+1}{\ctg\beta-\ctg\alpha}. $$

б) Преобразуем дробь, выразив тангенсы через синусы и косинусы:

$$ \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{\tg\alpha-\tg\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}. $$

в) Аналогично:

$$ \frac{\ctg\alpha+\ctg\beta}{\ctg\alpha-\ctg\beta} = \frac{\sin\beta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\beta}{\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta} = -\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}. $$

г) Сначала применим формулу для суммы двух тангенсов:

$$ \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}. $$

Тогда

$$ \tg(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\tg(\alpha+\beta)+\tg\gamma}{1-\tg(\alpha+\beta)\tg\gamma} = \frac{\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}+\tg\gamma} {1-\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}\tg\gamma}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \tg(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma-\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma} {1-\tg\alpha\tg\beta-\tg\alpha\tg\gamma-\tg\beta\tg\gamma}. $$

Ответ

$$ \ctg(\alpha+\beta)=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\alpha+\ctg\beta},\qquad \ctg(\alpha-\beta)=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta+1}{\ctg\beta-\ctg\alpha}; $$
$$ \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{\tg\alpha-\tg\beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}; $$
$$ \frac{\ctg\alpha+\ctg\beta}{\ctg\alpha-\ctg\beta}=-\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}; $$
$$ \tg(\alpha+\beta+\gamma)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma-\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma} {1-\tg\alpha\tg\beta-\tg\alpha\tg\gamma-\tg\beta\tg\gamma}. $$