Упр.1531 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (tg(?+?)-tg(?)-tg(?))/(tg(?)tg(?+?))=tg(?);
б) (tg^2(?)-tg^2(?))/(1-tg^2(?)tg^2(?))=tg(?+?)tg(?-?);
в) tg(?-?)-tg(?)+tg(?)=tg(?-?)tg(?)tg(?);
г) (tg(?)-tg(?))/tg(?-?)=(tg(?)+tg(?))/tg(?+?)=2.

1. а) Используем формулу суммы тангенсов:

   $$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}.$$

   Тогда

   $$ \frac{\tg(a+\beta)-\tg a-\tg \beta}{\tg a \, \tg(a+\beta)} = \frac{\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}-\tg a-\tg \beta}{\tg a \, \tg(a+\beta)}. $$

   Приведём числитель к общему знаменателю:

   $$ \frac{\tg a+\tg \beta-(\tg a+\tg \beta)(1-\tg a \tg \beta)}{(1-\tg a \tg \beta)\tg a \, \tg(a+\beta)} = \frac{(\tg a+\tg \beta)\tg a \tg \beta}{(1-\tg a \tg \beta)\tg a \, \tg(a+\beta)}. $$

   Сокращаем:

   $$ \frac{\tg \beta}{\tg(a+\beta)}\cdot \tg(a+\beta)=\tg \beta. $$

   Тождество доказано.

2. б) Используем формулы:

   $$ \tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}, \qquad \tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}. $$

   Тогда

   $$ \tg(a+\beta)\tg(a-\beta) = \frac{(\tg a+\tg \beta)(\tg a-\tg \beta)}{(1-\tg a \tg \beta)(1+\tg a \tg \beta)}. $$

   Раскроем скобки:

   $$ \tg(a+\beta)\tg(a-\beta) = \frac{\tg^2 a-\tg^2 \beta}{1-\tg^2 a \tg^2 \beta}. $$

   Получаем требуемое равенство.

3. в) Преобразуем левую часть:

   $$ \tg(a-\beta)-\tg a+\tg \beta = \frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}-\tg a+\tg \beta. $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{\tg a-\tg \beta-(\tg a-\tg \beta)(1+\tg a \tg \beta)}{1+\tg a \tg \beta}. $$

   Числитель равен

   $$ -(\tg a-\tg \beta)\tg a \tg \beta. $$

   Значит,

   $$ \tg(a-\beta)-\tg a+\tg \beta = -\tg(a-\beta)\tg a \tg \beta. $$

   Так как $$\tg(\beta-a)=-\tg(a-\beta),$$ то

   $$ \tg(a-\beta)-\tg a+\tg \beta=\tg(\beta-a)\tg a \tg \beta. $$

   Тождество доказано.

4. г) Рассмотрим сумму:

   $$ \frac{\tg a-\tg \beta}{\tg(a-\beta)}+\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg(a+\beta)}. $$

   Подставим формулы для тангенсов суммы и разности:

   $$ \frac{\tg a-\tg \beta}{\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}} + \frac{\tg a+\tg \beta}{\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}}. $$

   После сокращения получаем:

   $$ 1+\tg a \tg \beta + 1-\tg a \tg \beta = 2. $$

   Следовательно,

   $$ \frac{\tg a-\tg \beta}{\tg(a-\beta)}+\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg(a+\beta)}=2. $$

   Тождество доказано.

Ответ

а) $$\frac{\tg(a+\beta)-\tg a-\tg \beta}{\tg a \, \tg(a+\beta)}=\tg \beta$$; б) $$\frac{\tg^2 a-\tg^2 \beta}{1-\tg^2 a \tg^2 \beta}=\tg(a+\beta)\tg(a-\beta)$$; в) $$\tg(a-\beta)-\tg a+\tg \beta=\tg(\beta-a)\tg a \tg \beta$$; г) $$\frac{\tg a-\tg \beta}{\tg(a-\beta)}+\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg(a+\beta)}=2$$.