Упр.153 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 153. Область определения функции y=g(x) — множество R. Известно также, что g(x)=0, если x=-5 и x=1; g(x) > 0, если x?(-?; -5)?(1; +?). Найдите нули функций y=|g(x)| и y=g(|x|) и промежутки, на которых каждая из этих функций принимает положительные (отрицательные) значения.
Из условия известно:
$$g(x)=0 \text{ при } x=-5 \text{ и } x=1,$$
$$g(x)<0 \text{ при } x\in(-5;1),$$
$$g(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty).$$
Функция $$y=|g(x)|$$
Нули этой функции совпадают с нулями функции $$g(x)$$, то есть:
$$|g(x)|=0 \text{ при } x=-5 \text{ и } x=1.$$
Так как модуль неотрицателен, то
$$|g(x)|>0 \text{ при } x\in(-\infty;-5)\cup(-5;1)\cup(1;+\infty),$$
а отрицательных значений функция не принимает.
Функция $$y=g(|x|)$$
Нули найдём из условия:
$$g(|x|)=0.$$
Так как $$g(t)=0$$ при $$t=-5$$ и $$t=1,$$ а $$|x|\ge 0,$$ подходит только
$$|x|=1.$$
Следовательно,
$$x=-1 \text{ и } x=1.$$
Теперь определим знак функции. Если $$|x|<1,$$ то $$g(|x|)<0,$$ а если $$|x|>1,$$ то $$g(|x|)>0.$$ Значит:
$$g(|x|)<0 \text{ при } x\in(-1;1),$$
$$g(|x|)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Ответ
1) $$y=|g(x)|$$: нули $$x=-5,\;1$$; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;1)\cup(1;+\infty),$$ отрицательных значений нет.
2) $$y=g(|x|)$$: нули $$x=-1,\;1$$; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ $$y<0$$ при $$x\in(-1;1).$$
