Упр.1529 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Вычислите:
- а) $$\operatorname{tg}\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$$, если $$\sin\alpha=-\frac{12}{13}$$ и $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$; б) $$\operatorname{ctg}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$$, если $$\sin\alpha=-0{,}5$$ и $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$.
а) $$\sin a=-\frac{12}{13}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$
Так как угол лежит в III четверти, то $$\cos a<0.$$ Найдём косинус:
$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\frac{144}{169}} =-\sqrt{\frac{25}{169}} =-\frac{5}{13}.$$
Тогда
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} =\frac{12}{5}.$$
Используем формулу:
$$\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{4}}.$$
Подставим значения:
$$\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\frac{12}{5}-1}{1+\frac{12}{5}\cdot 1} =\frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}} =\frac{7}{17}.$$
б) $$\sin a=-0{,}5=-\frac{1}{2}, \quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi.$$
Значит, угол в IV четверти, поэтому $$\cos a>0.$$ Найдём косинус:
$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a} =\sqrt{1-\frac{1}{4}} =\sqrt{\frac{3}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Используем формулу:
$$\ctg\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\ctg a\cdot \ctg\frac{\pi}{4}-1}{\ctg a+\ctg\frac{\pi}{4}}.$$
Так как $$\ctg\frac{\pi}{4}=1,$$ а $$\ctg a=\frac{1}{\tg a}=-\sqrt{3},$$ получаем:
$$\ctg\left(a+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{-\sqrt{3}\cdot 1-1}{-\sqrt{3}+1} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} =\frac{4+2\sqrt{3}}{2} =2+\sqrt{3}.$$
Ответ
а) $$\frac{7}{17}$$; б) $$2+\sqrt{3}$$.
