Упр.1528 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) tg(?), если tg(?/3-?)=m;
б) ctg(?), если ctg(?/3+?)=n.

Используем формулы:

$$\tg\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{3}-\tg a}{1+\tg\frac{\pi}{3}\tg a}=\frac{\sqrt{3}-\tg a}{1+\sqrt{3}\tg a}.$$

Пусть $$\tg\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=m.$$ Тогда

$$\frac{\sqrt{3}-\tg a}{1+\sqrt{3}\tg a}=m,$$
$$\sqrt{3}-\tg a=m+m\sqrt{3}\tg a,$$
$$m\sqrt{3}\tg a+\tg a=\sqrt{3}-m,$$
$$\tg a\,(m\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}-m,$$
$$\tg a=\frac{\sqrt{3}-m}{m\sqrt{3}+1}.$$

Теперь рассмотрим второй случай:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\frac{1-\tg\frac{\pi}{3}\tg a}{\tg\frac{\pi}{3}+\tg a} =\frac{1-\sqrt{3}\tg a}{\sqrt{3}+\tg a}.$$

Пусть $$\ctg\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=n.$$ Тогда

$$\frac{1-\sqrt{3}\tg a}{\sqrt{3}+\tg a}=n,$$
$$1-\sqrt{3}\tg a=n\sqrt{3}+n\tg a,$$
$$n\tg a+\sqrt{3}\tg a=1-n\sqrt{3},$$
$$\tg a\,(n+\sqrt{3})=1-n\sqrt{3},$$
$$\tg a=\frac{1-n\sqrt{3}}{n+\sqrt{3}}.$$

Так как $$\ctg a=\frac{1}{\tg a},$$ получаем

$$\ctg a=\frac{n+\sqrt{3}}{1-n\sqrt{3}}.$$

Ответ

а) $$\tg a=\frac{\sqrt{3}-m}{m\sqrt{3}+1};$$
б) $$\ctg a=\frac{n+\sqrt{3}}{1-n\sqrt{3}}.$$