Упр.1526 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите: а) $$\sin(30^\circ+?)$$, если $$\sin(?)=-\frac{3}{4}$$ и $$180^\circ

1. $$\sin a=-\frac34,\quad 180^\circ<a<270^\circ.$$

   Так как угол в III четверти, то $$\cos a<0.$$ Найдём косинус:

   $$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt7}{4}.$$

   Тогда

   $$\sin(30^\circ+a)=\sin30^\circ\cos a+\cos30^\circ\sin a$$

   $$\sin(30^\circ+a)=\frac12\cdot\left(-\frac{\sqrt7}{4}\right)+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac34\right) =-\frac{\sqrt7}{8}-\frac{3\sqrt3}{8} =-\frac{3\sqrt3+\sqrt7}{8}.$$

2. $$\cos a=\frac23,\quad 0^\circ<a<90^\circ.$$

   В I четверти $$\sin a>0,$$ поэтому

   $$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac49}=\frac{\sqrt5}{3}.$$

   Теперь

   $$\cos(a-45^\circ)=\cos a\cos45^\circ+\sin a\sin45^\circ$$

   $$\cos(a-45^\circ)=\frac23\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt5}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{2\sqrt2+\sqrt{10}}{6}.$$

3. $$\cos a=-\sqrt{\frac13},\quad 90^\circ<a<180^\circ.$$

   Так как угол во II четверти, то $$\sin a>0.$$ Тогда

   $$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}.$$

   Имеем

   $$\sin(60^\circ-a)=\sin60^\circ\cos a-\cos60^\circ\sin a$$

   $$\sin(60^\circ-a)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)-\frac12\cdot\frac{\sqrt6}{3} =-\frac12-\frac{\sqrt6}{6} =-\frac{\sqrt6+3}{6}.$$

4. $$\sin a=\frac35,\quad 90^\circ<a<180^\circ.$$

   Во II четверти $$\cos a<0,$$ значит

   $$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac45.$$

   Тогда

   $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac35:\left(-\frac45\right)=-\frac34.$$

   Используем формулу суммы:

   $$\tg(a+45^\circ)=\frac{\tg a+\tg45^\circ}{1-\tg a\cdot\tg45^\circ}$$

   $$\tg(a+45^\circ)=\frac{-\frac34+1}{1-\left(-\frac34\right)\cdot1} =\frac{\frac14}{\frac74} =\frac17.$$

Ответ

а) $$-\frac{3\sqrt3+\sqrt7}{8}$$; б) $$\frac{2\sqrt2+\sqrt{10}}{6}$$; в) $$-\frac{\sqrt6+3}{6}$$; г) $$\frac17$$.