Упр.1526 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
a) sin(30°+?), если sin(?)=-3/4 и 180° < ? < 270°; б) cos(?-45°), если cis(?)=2/3 и 0° < ? < 90°; в) sin(60°-?), если cos(?)=-v(1/3) и 90° < ? < 180°; г) tg(?+45°), если sin(?)=3/5 и 90° < ? < 180°.
$$\sin a=-\frac34,\quad 180^\circ<a<270^\circ.$$
Так как угол в III четверти, то $$\cos a<0.$$ Найдём косинус:
$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt7}{4}.$$
Тогда
$$ \sin(30^\circ+a)=\sin30^\circ\cos a+\cos30^\circ\sin a $$
$$ \sin(30^\circ+a)=\frac12\cdot\left(-\frac{\sqrt7}{4}\right)+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac34\right) =-\frac{\sqrt7}{8}-\frac{3\sqrt3}{8} =-\frac{3\sqrt3+\sqrt7}{8}. $$
$$\cos a=\frac23,\quad 0^\circ<a<90^\circ.$$
В I четверти $$\sin a>0,$$ поэтому
$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac49}=\frac{\sqrt5}{3}.$$
Теперь
$$ \cos(a-45^\circ)=\cos a\cos45^\circ+\sin a\sin45^\circ $$
$$ \cos(a-45^\circ)=\frac23\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt5}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{2\sqrt2+\sqrt{10}}{6}. $$
$$\cos a=-\sqrt{\frac13},\quad 90^\circ<a<180^\circ.$$
Так как угол во II четверти, то $$\sin a>0.$$ Тогда
$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}.$$
Имеем
$$ \sin(60^\circ-a)=\sin60^\circ\cos a-\cos60^\circ\sin a $$
$$ \sin(60^\circ-a)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)-\frac12\cdot\frac{\sqrt6}{3} =-\frac12-\frac{\sqrt6}{6} =-\frac{\sqrt6+3}{6}. $$
$$\sin a=\frac35,\quad 90^\circ<a<180^\circ.$$
Во II четверти $$\cos a<0,$$ значит
$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac45.$$
Тогда
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac35:\left(-\frac45\right)=-\frac34.$$
Используем формулу суммы:
$$ \tg(a+45^\circ)=\frac{\tg a+\tg45^\circ}{1-\tg a\cdot\tg45^\circ} $$
$$ \tg(a+45^\circ)=\frac{-\frac34+1}{1-\left(-\frac34\right)\cdot1} =\frac{\frac14}{\frac74} =\frac17. $$
Ответ
а) $$-\frac{3\sqrt3+\sqrt7}{8}$$; б) $$\frac{2\sqrt2+\sqrt{10}}{6}$$; в) $$-\frac{\sqrt6+3}{6}$$; г) $$\frac17$$.
