Упр.1525 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1525. Докажите, что sin^2(?/6+?)+sin^2(4?/3-?)=1.

Преобразуем второе слагаемое:

$$\sin^2\left(\frac{4\pi}{3}-a\right)=\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\right).$$

Используем формулу

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,$$

тогда

$$\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\right)=\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right).$$

Следовательно,

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{3}-a\right)=\sin^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right).$$

По основному тригонометрическому тождеству

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$

получаем

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{3}-a\right)=1.$$

Ответ

$$1$$