Упр.1523 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что произведение всех выражений вида $$\mathrm{tg}(n^\circ)$$, где $$n$$ — натуральное число, меньшее $$90$$, равно $$1$$.

Рассмотрим произведение

$$\tg 1^\circ \cdot \tg 2^\circ \cdot \tg 3^\circ \cdot \ldots \cdot \tg 89^\circ.$$

Сгруппируем множители попарно:

$$\tg 1^\circ \cdot \tg 89^\circ,\quad \tg 2^\circ \cdot \tg 88^\circ,\quad \ldots,\quad \tg 44^\circ \cdot \tg 46^\circ,$$

а отдельно выделим множитель $$\tg 45^\circ.$$

Используем формулу

$$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}.$$

Тогда

$$\tg n^\circ \cdot \tg(90^\circ-n^\circ)=\tg n^\circ \cdot \ctg n^\circ=1.$$

Значит, каждая такая пара даёт в произведении единицу, а

$$\tg 45^\circ=1.$$

Следовательно, всё произведение равно

$$1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot 1=1.$$

Ответ

$$1$$