Упр.1522 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) tg(10°)tg(20°)tg(30°)tg(40°)tg(50°)tg(60°)tg(70°)tg(80°);
б) ctg(30°)ctg(35°)ctg(40°)ctg(45°)ctg(50°)ctg(55°)ctg(60°);
в) sin^2(20°)+sin^2(30°)+sin^2(40°)+sin^2(50°)+sin^2(60°)+sin^2(70°);
г) cos^2(21°)+cos^2(33°)+cos^2(45°)+cos^2(57°)+cos^2(69°).

1. а) Используем формулу $$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha$$:

   $$\tg 10^\circ \tg 20^\circ \tg 30^\circ \tg 40^\circ \tg 50^\circ \tg 60^\circ \tg 70^\circ \tg 80^\circ$$
   $$=\tg 10^\circ \tg 20^\circ \tg 30^\circ \tg 40^\circ \ctg 40^\circ \ctg 30^\circ \ctg 20^\circ \ctg 10^\circ$$
   $$=1.$$

2. б) Аналогично:

   $$\ctg 30^\circ \ctg 35^\circ \ctg 40^\circ \ctg 45^\circ \ctg 50^\circ \ctg 55^\circ \ctg 60^\circ$$
   $$=\tg 60^\circ \tg 55^\circ \tg 50^\circ \ctg 45^\circ \ctg 50^\circ \ctg 55^\circ \ctg 60^\circ$$
   $$=1.$$

3. в) Сгруппируем слагаемые, используя равенство $$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$$:

   $$\sin^2 20^\circ+\sin^2 30^\circ+\sin^2 40^\circ+\sin^2 50^\circ+\sin^2 60^\circ+\sin^2 70^\circ$$
   $$=\sin^2 20^\circ+\sin^2 30^\circ+\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ+\cos^2 30^\circ+\cos^2 20^\circ$$
   $$=1+1+1=3.$$

4. г) Используем формулу $$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$:

   $$\cos^2 21^\circ+\cos^2 33^\circ+\cos^2 45^\circ+\cos^2 57^\circ+\cos^2 69^\circ$$
   $$=\cos^2 21^\circ+\cos^2 33^\circ+\cos^2 45^\circ+\sin^2 33^\circ+\sin^2 21^\circ$$
   $$=1+1+\frac12=\frac52.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$3$$; г) $$\frac52$$.