Упр.1522 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Найдите значение выражения:
- а) $$\operatorname{tg}(10^\circ)\operatorname{tg}(20^\circ)\operatorname{tg}(30^\circ)\operatorname{tg}(40^\circ)\operatorname{tg}(50^\circ)\operatorname{tg}(60^\circ)\operatorname{tg}(70^\circ)\operatorname{tg}(80^\circ)$$;
- б) $$\operatorname{ctg}(30^\circ)\operatorname{ctg}(35^\circ)\operatorname{ctg}(40^\circ)\operatorname{ctg}(45^\circ)\operatorname{ctg}(50^\circ)\operatorname{ctg}(55^\circ)\operatorname{ctg}(60^\circ)$$;
- в) $$\sin^2(20^\circ)+\sin^2(30^\circ)+\sin^2(40^\circ)+\sin^2(50^\circ)+\sin^2(60^\circ)+\sin^2(70^\circ)$$;
- г) $$\cos^2(21^\circ)+\cos^2(33^\circ)+\cos^2(45^\circ)+\cos^2(57^\circ)+\cos^2(69^\circ)$$.
а) Используем формулу $$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha$$:
$$\tg 10^\circ \tg 20^\circ \tg 30^\circ \tg 40^\circ \tg 50^\circ \tg 60^\circ \tg 70^\circ \tg 80^\circ$$
$$=\tg 10^\circ \tg 20^\circ \tg 30^\circ \tg 40^\circ \ctg 40^\circ \ctg 30^\circ \ctg 20^\circ \ctg 10^\circ$$
$$=1.$$б) Аналогично:
$$\ctg 30^\circ \ctg 35^\circ \ctg 40^\circ \ctg 45^\circ \ctg 50^\circ \ctg 55^\circ \ctg 60^\circ$$
$$=\tg 60^\circ \tg 55^\circ \tg 50^\circ \ctg 45^\circ \ctg 50^\circ \ctg 55^\circ \ctg 60^\circ$$
$$=1.$$в) Сгруппируем слагаемые, используя равенство $$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$$:
$$\sin^2 20^\circ+\sin^2 30^\circ+\sin^2 40^\circ+\sin^2 50^\circ+\sin^2 60^\circ+\sin^2 70^\circ$$
$$=\sin^2 20^\circ+\sin^2 30^\circ+\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ+\cos^2 30^\circ+\cos^2 20^\circ$$
$$=1+1+1=3.$$г) Используем формулу $$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$:
$$\cos^2 21^\circ+\cos^2 33^\circ+\cos^2 45^\circ+\cos^2 57^\circ+\cos^2 69^\circ$$
$$=\cos^2 21^\circ+\cos^2 33^\circ+\cos^2 45^\circ+\sin^2 33^\circ+\sin^2 21^\circ$$
$$=1+1+\frac12=\frac52.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$3$$; г) $$\frac52$$.
