Упр.1519 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что значение дроби $$\frac{\sin^3(?)\left(1+\operatorname{ctg}(?)\right)+\cos^3(?)\left(1+\operatorname{tg}(?)\right)}{\sin(?)+\cos(?)}$$ не зависит от ?.

Преобразуем числитель, используя определения tg и ctg:

$$\frac{\sin^3 a(1+\ctg a)+\cos^3 a(1+\tg a)}{\sin a+\cos a} = \frac{\sin^3 a\left(1+\frac{\cos a}{\sin a}\right)+\cos^3 a\left(1+\frac{\sin a}{\cos a}\right)}{\sin a+\cos a}$$

$$= \frac{\sin^3 a\cdot \frac{\sin a+\cos a}{\sin a}+\cos^3 a\cdot \frac{\sin a+\cos a}{\cos a}}{\sin a+\cos a} = \frac{\sin^2 a(\sin a+\cos a)+\cos^2 a(\sin a+\cos a)}{\sin a+\cos a}$$

$$= \frac{(\sin^2 a+\cos^2 a)(\sin a+\cos a)}{\sin a+\cos a} = \sin^2 a+\cos^2 a =1.$$

Следовательно, значение дроби не зависит от угла a.

Ответ

$$1$$