Упр.1518 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что дробь $$\frac{\sin(?)-\operatorname{tg}(?)}{\cos(?)-\operatorname{ctg}(?)}$$ не может принимать отрицательных значений.

Преобразуем дробь:

$$\frac{\sin a-\tg a}{\cos a-\ctg a} = \frac{\sin a-\dfrac{\sin a}{\cos a}}{\cos a-\dfrac{\cos a}{\sin a}}$$

Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю:

$$\frac{\sin a\left(1-\dfrac{1}{\cos a}\right)}{\cos a\left(1-\dfrac{1}{\sin a}\right)} = \frac{\sin a\cdot \dfrac{\cos a-1}{\cos a}}{\cos a\cdot \dfrac{\sin a-1}{\sin a}}$$

$$= \frac{\sin^2 a(\cos a-1)}{\cos^2 a(\sin a-1)}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:

$$\frac{\sin^2 a(1-\cos a)}{\cos^2 a(1-\sin a)}$$

Так как $$\sin^2 a \ge 0$$, $$\cos^2 a \ge 0$$, $$1-\cos a \ge 0$$ и $$1-\sin a \ge 0$$, то при всех допустимых значениях $$a$$ эта дробь неотрицательна.

Следовательно, исходное выражение не может принимать отрицательных значений.

Ответ

$$\frac{\sin a-\tg a}{\cos a-\ctg a}\ge 0.$$