Упр.1517 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1517. Найдите tg^2(?)+ctg^2(?) и tg^3(?)-ctg^3(?), если tg^2(?)-ctg^2(?)=n.

Пусть $$\tg a-\ctg a=n.$$

1) Найдём $$\tg^2 a+\ctg^2 a.$$

$$ \tg^2 a+\ctg^2 a = \left(\tg a-\ctg a\right)^2+2\tg a\ctg a $$

Так как $$\tg a\ctg a=1,$$ то

$$ \tg^2 a+\ctg^2 a=n^2+2. $$

2) Найдём $$\tg^3 a-\ctg^3 a.$$

$$ \tg^3 a-\ctg^3 a=(\tg a-\ctg a)\left(\tg^2 a+\tg a\ctg a+\ctg^2 a\right) $$

$$ = n\left((\tg^2 a+\ctg^2 a)+\tg a\ctg a\right) = n\left((n^2+2)+1\right) = n(n^2+3). $$

Ответ

$$ \tg^2 a+\ctg^2 a=n^2+2,\qquad \tg^3 a-\ctg^3 a=n(n^2+3). $$