Упр.1517 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Найдите $$\operatorname{tg}^2(?) + \operatorname{ctg}^2(?)$$ и $$\operatorname{tg}^3(?) — \operatorname{ctg}^3(?)$$, если $$\operatorname{tg}^2(?) — \operatorname{ctg}^2(?) = n$$.

Пусть $$\tg a-\ctg a=n.$$

1) Найдём $$\tg^2 a+\ctg^2 a.$$

$$\tg^2 a+\ctg^2 a = \left(\tg a-\ctg a\right)^2+2\tg a\ctg a$$

Так как $$\tg a\ctg a=1,$$ то

$$\tg^2 a+\ctg^2 a=n^2+2.$$

2) Найдём $$\tg^3 a-\ctg^3 a.$$

$$\tg^3 a-\ctg^3 a=(\tg a-\ctg a)\left(\tg^2 a+\tg a\ctg a+\ctg^2 a\right)$$

$$= n\left((\tg^2 a+\ctg^2 a)+\tg a\ctg a\right) = n\left((n^2+2)+1\right) = n(n^2+3).$$

Ответ

$$\tg^2 a+\ctg^2 a=n^2+2,\qquad \tg^3 a-\ctg^3 a=n(n^2+3).$$