Упр.1516 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Известно, что $$\sin(?) — \cos(?) = m$$. Найдите: а) $$\sin(?)\cos(?)$$; б) $$\sin^3(?) — \cos^3(?)$$.

Пусть $$\sin a-\cos a=m.$$ Тогда возведём это равенство в квадрат:

$$(\sin a-\cos a)^2=m^2$$

$$\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a=m^2$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем:

$$1-2\sin a\cos a=m^2$$

Отсюда

$$\sin a\cos a=\frac{1-m^2}{2}.$$

Теперь найдём

$$\sin^3 a-\cos^3 a=(\sin a-\cos a)(\sin^2 a+\sin a\cos a+\cos^2 a).$$

Подставим известные значения:

$$\sin^3 a-\cos^3 a=m\left(1+\frac{1-m^2}{2}\right)$$

$$=m\cdot \frac{3-m^2}{2} =\frac{3m-m^3}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{1-m^2}{2}$$; б) $$\frac{3m-m^3}{2}$$.