Упр.1515 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   
   а) $$\frac{1-\cos(?)}{\sin(?)}=\frac{\sin(?)}{1+\cos(?)}$$;
   
   б) $$\frac{1-2\sin^2(?)}{\operatorname{ctg}(?)-\operatorname{tg}(?)}=\sin(?)\cos(?)$$;
   
   в) $$\frac{(\sin(?)+\cos(?))^2-1}{\operatorname{ctg}(?)-\sin(?)\cos(?)}=2\operatorname{tg}^2(?)$$;
   
   г) $$\frac{\operatorname{tg}(?)+\operatorname{tg}(?)}{\operatorname{ctg}(?)+\operatorname{ctg}(?)}=\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?)$$.

1. а)

   $$\frac{1-\cos a}{\sin a}=\frac{\sin a}{1+\cos a}$$

   Умножим обе части на $$\sin a(1+\cos a)$$:

   $$(1-\cos a)(1+\cos a)=\sin^2 a$$
   $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$

   Это тождество верно, так как $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$.

2. б)

   $$\frac{1-2\sin^2 a}{\ctg a-\tg a}=\sin a\cos a$$

   Преобразуем числитель и знаменатель:

   $$1-2\sin^2 a=\sin^2 a+\cos^2 a-2\sin^2 a=\cos^2 a-\sin^2 a$$
   $$\ctg a-\tg a=\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a\cos a}$$

   Тогда

   $$\frac{1-2\sin^2 a}{\ctg a-\tg a} = \frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\dfrac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a\cos a}} =\sin a\cos a$$

3. в)

   $$\frac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\ctg a-\sin a\cos a}=2\tg^2 a$$

   Раскроем скобки в числителе:

   $$(\sin a+\cos a)^2-1 =\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a-1 =2\sin a\cos a$$

   Знаменатель:

   $$\ctg a-\sin a\cos a =\frac{\cos a}{\sin a}-\sin a\cos a =\frac{\cos a-\sin^2 a\cos a}{\sin a} =\frac{\cos a(1-\sin^2 a)}{\sin a} =\frac{\cos^3 a}{\sin a}$$

   Тогда

   $$\frac{2\sin a\cos a}{\dfrac{\cos^3 a}{\sin a}} =\frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a} =2\tg^2 a$$

4. г)

   $$\frac{\tg a+\tg \beta}{\ctg a+\ctg \beta}=\tg a\,\tg \beta$$

   Преобразуем знаменатель:

   $$\ctg a+\ctg \beta=\frac{1}{\tg a}+\frac{1}{\tg \beta} =\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg a\,\tg \beta}$$

   Тогда

   $$\frac{\tg a+\tg \beta}{\dfrac{\tg a+\tg \beta}{\tg a\,\tg \beta}} =\tg a\,\tg \beta$$

Ответ

Все тождества доказаны.