Упр.1515 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (1-cos(?))/sin(?)=sin(?)/(1+cos(?));
б) (1-2sin^2(?))/(ctg(?)-tg(?))=sin(?)cos(?);
в) ((sin(?)+cos(?))^2-1)/(ctg(?)-sin(?)cos(?))=2tg^2(?);
г) (tg(?)+tg(?))/(ctg(?)+ctg(?))=tg(?)tg(?).

1. а)

   $$\frac{1-\cos a}{\sin a}=\frac{\sin a}{1+\cos a}$$

   Умножим обе части на $$\sin a(1+\cos a)$$:

   $$ (1-\cos a)(1+\cos a)=\sin^2 a $$
   $$ 1-\cos^2 a=\sin^2 a $$

   Это тождество верно, так как $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$.

2. б)

   $$\frac{1-2\sin^2 a}{\ctg a-\tg a}=\sin a\cos a$$

   Преобразуем числитель и знаменатель:

   $$ 1-2\sin^2 a=\sin^2 a+\cos^2 a-2\sin^2 a=\cos^2 a-\sin^2 a $$
   $$ \ctg a-\tg a=\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a\cos a} $$

   Тогда

   $$ \frac{1-2\sin^2 a}{\ctg a-\tg a} = \frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\dfrac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a\cos a}} =\sin a\cos a $$

3. в)

   $$\frac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\ctg a-\sin a\cos a}=2\tg^2 a$$

   Раскроем скобки в числителе:

   $$ (\sin a+\cos a)^2-1 =\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a-1 =2\sin a\cos a $$

   Знаменатель:

   $$ \ctg a-\sin a\cos a =\frac{\cos a}{\sin a}-\sin a\cos a =\frac{\cos a-\sin^2 a\cos a}{\sin a} =\frac{\cos a(1-\sin^2 a)}{\sin a} =\frac{\cos^3 a}{\sin a} $$

   Тогда

   $$ \frac{2\sin a\cos a}{\dfrac{\cos^3 a}{\sin a}} =\frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a} =2\tg^2 a $$

4. г)

   $$\frac{\tg a+\tg \beta}{\ctg a+\ctg \beta}=\tg a\,\tg \beta$$

   Преобразуем знаменатель:

   $$ \ctg a+\ctg \beta=\frac{1}{\tg a}+\frac{1}{\tg \beta} =\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg a\,\tg \beta} $$

   Тогда

   $$ \frac{\tg a+\tg \beta}{\dfrac{\tg a+\tg \beta}{\tg a\,\tg \beta}} =\tg a\,\tg \beta $$

Ответ

Все тождества доказаны.