Упр.1514 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   
   а) $$\frac{\operatorname{ctg}^2(?) — \cos^2(?)}{\operatorname{tg}^2(?) — \sin^2(?)}$$;
   
   б) $$\cos^2(?) + \operatorname{ctg}^2(?) — \frac{1}{\sin^2(?)}$$;
   
   в) $$1 + \frac{1}{\cos^2(?)} — \operatorname{tg}^2(?)$$;
   
   г) $$\frac{2\sin^2(?) — 1}{\sin(?) + \cos(?)}$$.

Используем тождества $$\ctg^2 a=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}$$, $$\tg^2 a=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$, $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$.

1. $$\frac{\ctg^2 a-\cos^2 a}{\tg^2 a-\sin^2 a} = \frac{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\cos^2 a}{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}-\sin^2 a}$$

   $$= \frac{\cos^2 a\left(\frac{1}{\sin^2 a}-1\right)}{\sin^2 a\left(\frac{1}{\cos^2 a}-1\right)} = \frac{\cos^2 a\cdot \frac{1-\sin^2 a}{\sin^2 a}}{\sin^2 a\cdot \frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a}}$$

   $$= \frac{\cos^2 a\cdot \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}{\sin^2 a\cdot \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}} = \ctg^6 a$$

2. $$\cos^2 a+\ctg^2 a-\frac{1}{\sin^2 a} = \cos^2 a+\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\frac{1}{\sin^2 a}$$

   $$= \frac{\cos^2 a\sin^2 a+\cos^2 a-1}{\sin^2 a} = \frac{\cos^2 a\sin^2 a+\cos^2 a-(\sin^2 a+\cos^2 a)}{\sin^2 a}$$

   $$= \frac{\cos^2 a\sin^2 a-\sin^2 a}{\sin^2 a} = \cos^2 a-1 = -\sin^2 a$$

3. $$1+\frac{1}{\cos^2 a}-\tg^2 a = 1+\frac{1}{\cos^2 a}-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$

   $$= \frac{\cos^2 a+1-\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a+(1-\sin^2 a)}{\cos^2 a} = \frac{2\cos^2 a}{\cos^2 a} = 2$$

4. $$\frac{2\sin^2 a-1}{\sin a+\cos a} = \frac{2\sin^2 a-(\sin^2 a+\cos^2 a)}{\sin a+\cos a}$$

   $$= \frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{\sin a+\cos a} = \frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{\sin a+\cos a} = \sin a-\cos a$$

Ответ

а) $$\ctg^6 a$$;
б) $$-\sin^2 a$$;
в) $$2$$;
г) $$\sin a-\cos a$$.