Упр.1513 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Существует ли угол $$\alpha$$, для которого:

а) $$\sin\alpha=\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}$$ и $$\cos\alpha=\frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}$$;

б) $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{m^2+1}{m}$$ и $$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{m}{m^2+1}$$?

а) Проверим, могут ли такие значения синуса и косинуса соответствовать одному и тому же углу:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{m^2}{m^2+n^2}+\frac{n^2}{m^2+n^2} = \frac{m^2+n^2}{m^2+n^2} = 1.$$

Это тождество выполняется, значит, такой угол существует.

б) Проверим условие для тангенса и котангенса:

$$\tg \alpha \cdot \ctg \alpha = \left(m+\frac{1}{m}\right)\cdot \frac{m}{m^2+1} = \frac{m^2+1}{m}\cdot \frac{m}{m^2+1} = 1.$$

Следовательно, такие значения тоже могут соответствовать одному и тому же углу.

Ответ

а) да; б) да.