Упр.1512 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) cos(13°)-sin(77°)+tg(50°)+ctg(130°);
б) sin(-69°)+sin(-52°)+cos(21°)+cos(-38°);
в) sin(90°+?)+tg(270°+?)+cos(?-180°)+ctg(360°-?);
г) 3cos(?)-sin(?-30°)-3cos(360°-?)+sin(?+90°);
д) tg(?-?)-cos(?-?)+sin(?/2-?)-ctg(3?/2+?);
е) sin(?/2+?)sin(3?/2-?)+cos(?-?/2)sin(?-?).

Подробный ответ

Используем формулы приведения:

$$\sin(90^\circ-x)=\cos x,$$
$$\cos(180^\circ-x)=-\cos x,$$
$$\sin(90^\circ+x)=\cos x,$$
$$\tg(180^\circ-x)=-\tg x,$$
$$\ctg(180^\circ-x)=-\ctg x,$$
$$\tg(270^\circ+x)=\ctg x,$$
$$\ctg(360^\circ-x)=-\ctg x.$$

$$\cos 13^\circ-\sin 77^\circ+\tg 50^\circ+\ctg 130^\circ$$
$$=\cos 13^\circ-\sin(90^\circ-13^\circ)+\tg 50^\circ+\ctg(180^\circ-50^\circ)$$
$$=\cos 13^\circ-\cos 13^\circ+\tg 50^\circ-\ctg 50^\circ$$
$$=\tg 50^\circ-\ctg 50^\circ.$$
$$\sin(-69^\circ)+\sin(-52^\circ)+\cos 21^\circ+\cos(-38^\circ)$$
$$=-\sin 69^\circ-\sin 52^\circ+\cos(90^\circ-69^\circ)+\cos(90^\circ-52^\circ)$$
$$=-\sin 69^\circ-\sin 52^\circ+\sin 69^\circ+\sin 52^\circ=0.$$
$$\sin(90^\circ+a)+\tg(270^\circ+a)+\cos(a-180^\circ)+\ctg(360^\circ-a)$$
$$=\cos a+\ctg a-\cos a-\ctg a=-2\ctg a.$$
$$3\cos a-\sin(a-30^\circ)-3\cos(360^\circ-a)+\sin(a+90^\circ)$$
$$=3\cos a-\bigl(\sin a\cos 30^\circ-\cos a\sin 30^\circ\bigr)-3\cos a+\cos a$$
$$=3\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\frac12\cos a-3\cos a+\cos a$$
$$=\frac12\bigl(3\cos a-\sqrt3\sin a\bigr).$$
$$\tg(\pi-a)-\cos(a-\pi)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)$$
$$=-\tg a+\cos a+\cos a+\tg a=2\cos a.$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)+\cos\left(a-\frac{\pi}{2}\right)\sin(a-\pi)$$
$$=\cos a\cdot(-\cos a)+\sin a\cdot(-\sin a)$$
$$=-\cos^2 a-\sin^2 a=-1.$$