Упр.1500 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите, что:

1. $$\sin(?) + \cos(?) > 1$$, если $$0 < ? < ?/2$$;
2. $$\operatorname{tg}(?) + \operatorname{ctg}(?) \mathbin{?} 2$$ при $$\operatorname{tg}(?) > 0$$.

а) Возведём левую и правую части в квадрат:

$$\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a>1.$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем

$$1+2\sin a\cos a>1,$$

откуда

$$2\sin a\cos a>0.$$

При $$0<a<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\sin a>0$$ и $$\cos a>0,$$ значит, $$2\sin a\cos a>0.$$ Следовательно,

$$\sin a+\cos a>1.$$

б) Обозначим $$t=\tg a,$$ тогда по условию $$t>0.$$ Нужно доказать, что

$$t+\frac{1}{t}\ge 2.$$

Возведём в квадрат левую и правую части неравенства:

$$t^2+2+t^{-2}\ge 4.$$

Или, умножив на $$t^2>0,$$ получим

$$t^4-2t^2+1\ge 0,$$

$$\left(t^2-1\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любом $$t,$$ значит,

$$t+\frac{1}{t}\ge 2.$$

Следовательно,

$$\tg a+\ctg a\ge 2.$$

Ответ

а) $$\sin a+\cos a>1$$ при $$0<a<\frac{\pi}{2}$$; б) $$\tg a+\ctg a\ge 2$$ при $$\tg a>0.$$