Упр.150 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Для каждой из этих функций найдите: а) область определения; б) область значений: в) нули функции; г) промежутки возрастания и промежутки убывания.

1) Функция $$f(x)=|x^2-4x+3|$$

а) Область определения: выражение под модулем определено при любых $$x$$, значит

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

б) Найдём область значений. Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$$

Его наименьшее значение равно $$-1$$, поэтому после взятия модуля получаем

$$f(x)\ge 0,$$

следовательно,

$$E(f)=[0;+\infty).$$

в) Нули функции:

$$|x^2-4x+3|=0 \iff x^2-4x+3=0,$$

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0,$$

откуда

$$x=1,\; x=3.$$

г) Для монотонности рассмотрим знак выражения под модулем:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

Тогда

$$f(x)= \begin{cases} x^2-4x+3, & x\le 1 \text{ или } x\ge 3,\\ -x^2+4x-3, & 1\le x\le 3. \end{cases}$$

На промежутках $$(-\infty;1]$$ и $$[3;+\infty)$$ функция возрастает, а на $$[1;3]$$ убывает.

2) Функция $$g(x)=x^2-6|x|+8$$

а) Область определения: функция определена при любых $$x$$, значит

$$D(g)=(-\infty;+\infty).$$

б) Найдём область значений. Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0.$$ Тогда

$$g(x)=t^2-6t+8=(t-3)^2-1.$$

Минимум достигается при $$t=3$$ и равен $$-1$$, значит

$$E(g)=[-1;+\infty).$$

в) Нули функции:

$$x^2-6|x|+8=0.$$

Положим $$t=|x|$$. Тогда

$$t^2-6t+8=0,$$

$$t^2-6t+8=(t-2)(t-4)=0,$$

откуда $$t=2$$ или $$t=4$$. Следовательно,

$$|x|=2 \Rightarrow x=\pm 2,$$

$$|x|=4 \Rightarrow x=\pm 4.$$

Значит, нули функции: $$x=-4,\,-2,\,2,\,4.$$

г) Для монотонности рассмотрим по частям:

$$g(x)= \begin{cases} x^2-6x+8, & x\ge 0,\\ x^2+6x+8, & x<0. \end{cases}$$

На $$(-\infty;-3]$$ функция убывает, на $$[-3;0]$$ возрастает, на $$[0;3]$$ убывает, на $$[3;+\infty)$$ возрастает.

Ответ

$$f(x)=|x^2-4x+3|:$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[0;+\infty),$$
нули: $$x=1,\;3,$$
возрастает на $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty),$$
убывает на $$[1;3].$$

$$g(x)=x^2-6|x|+8:$$
$$D(g)=(-\infty;+\infty),\quad E(g)=[-1;+\infty),$$
нули: $$x=-4,\,-2,\,2,\,4,$$
возрастает на $$[-3;0]\cup[3;+\infty),$$
убывает на $$(-\infty;-3]\cup[0;3].$$