Упр.1498 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1498. При каких значениях $$?$$ верно равенство:
      а) $$|\sin(?)|=\sin(?)$$;
      б) $$|\cos(?)|=-\cos(?)$$;
      в) $$|\tg(?)|=\tg(?)$$;
      г) $$|\ctg(?)|=-\ctg(?)$$;
      д) $$|\sin(?)\cos(?)|=\sin(?)\cos(?)$$;
      е) $$|\sin(?)\cos(?)|=-\sin(?)\cos(?)$$?

Равенство с модулем верно тогда и только тогда, когда выражение под модулем имеет нужный знак.

1. $$|\sin a|=\sin a$$ при $$\sin a\ge 0.$$

   Значит,

   $$2\pi n\le a\le \pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. $$|\cos a|=-\cos a$$ при $$\cos a\le 0.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le a\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

3. $$|\tg a|=\tg a$$ при $$\tg a\ge 0.$$

   Тогда

   $$\pi n\le a<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

4. $$|\ctg a|=-\ctg a$$ при $$\ctg a\le 0.$$

   Значит,

   $$\frac{\pi}{2}+\pi n\le a<\pi+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

5. $$|\sin a\cos a|=\sin a\cos a$$ при $$\sin a\cos a\ge 0.$$

   Это выполняется, когда $$\sin a$$ и $$\cos a$$ одного знака, то есть

   $$\pi n\le a\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

6. $$|\sin a\cos a|=-\sin a\cos a$$ при $$\sin a\cos a\le 0.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{2}+\pi n\le a\le \pi+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$2\pi n\le a\le \pi+2\pi n$$;
б) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le a\le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$;
в) $$\pi n\le a<\frac{\pi}{2}+\pi n$$;
г) $$\frac{\pi}{2}+\pi n\le a<\pi+\pi n$$;
д) $$\pi n\le a\le \frac{\pi}{2}+\pi n$$;
е) $$\frac{\pi}{2}+\pi n\le a\le \pi+\pi n$$, $$n\in \mathbb Z$$.