Упр.1491 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Покажите штриховкой в координатной плоскости множество решений системы неравенств:
   а) $$\begin{cases} y-\cos(x)\geq 0,\\ y+x^2\leq 3; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} y\leq 2\sin(x),\\ y\geq -2\sin(x). \end{cases}$$

а) Система неравенств

$$\begin{cases} y-\cos x \ge 0,\\ y+x^2 \le 3 \end{cases}$$

равносильна системе

$$\begin{cases} y \ge \cos x,\\ y \le 3-x^2 \end{cases}$$

Значит, нужно взять точки координатной плоскости, для которых ордината лежит между графиками $$y=\cos x$$ и $$y=3-x^2$$, то есть выше графика $$y=\cos x$$ и ниже графика $$y=3-x^2$$.

Область решений — общая часть этих двух полуплоскостей, включая границы.

б) Система неравенств

$$\begin{cases} y \ge 2\sin x,\\ y \le -2\sin x \end{cases}$$

Чтобы решения существовали, должно выполняться

$$2\sin x \le -2\sin x$$

откуда

$$4\sin x \le 0,\qquad \sin x \le 0.$$

Следовательно, решения есть только при тех значениях $$x$$, где $$\sin x \le 0$$, а для таких $$x$$ выполняется

$$2\sin x \le y \le -2\sin x.$$

Итак, область решений — часть плоскости между графиками $$y=2\sin x$$ и $$y=-2\sin x$$ там, где $$\sin x \le 0$$, включая сами графики.

Ответ

а) Область между графиками $$y=\cos x$$ и $$y=3-x^2$$, где $$\cos x \le 3-x^2$$.

б) Область между графиками $$y=2\sin x$$ и $$y=-2\sin x$$ при $$\sin x \le 0$$.