Упр.1488 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) cos(75°)·cos(15°)=1/4;
б) sin(105°)·sin(75°)=-1/4.

Подробный ответ

а)

$$ \cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ = \cos(90^\circ-15^\circ)\cdot \cos 15^\circ = \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ $$

Используем формулу:
$$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $$
Тогда
$$ \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac12 \sin 30^\circ = \frac12 \cdot \frac12 = \frac14. $$

Значит,
$$ \cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac14. $$

б)

$$ \sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \sin(180^\circ-75^\circ)\cdot \sin 75^\circ = \sin 75^\circ \cdot \sin 105^\circ $$

Так как
$$ \sin 105^\circ = \sin(180^\circ-75^\circ)=\sin 75^\circ, $$
то
$$ \sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \sin^2 75^\circ. $$

Но удобнее воспользоваться преобразованием:
$$ \sin 105^\circ = \sin(90^\circ+15^\circ)=\cos 15^\circ, $$
следовательно,
$$ \sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \cos 15^\circ \cdot \sin 75^\circ. $$

А
$$ \sin 75^\circ = \sin(90^\circ-15^\circ)=\cos 15^\circ, $$
поэтому
$$ \sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \cos 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \cos^2 15^\circ. $$

Используем формулу:
$$ \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}. $$
Тогда
$$ \cos^2 15^\circ = \frac{1+\cos 30^\circ}{2} = \frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}, $$
что не равно $$-\frac14$$.

Следовательно, в условии для пункта б) имеется опечатка. Верное тождество из изображения:
$$ \cos 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = -\frac14. $$
Докажем его:

$$ \cos 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \cos(180^\circ-75^\circ)\cdot \sin 75^\circ = -\cos 75^\circ \cdot \sin 75^\circ $$

$$ -\cos 75^\circ \cdot \sin 75^\circ = -\frac12 \sin 150^\circ = -\frac12 \cdot \frac12 = -\frac14. $$