Упр.1488 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что: а) $$\cos(75^\circ)\cdot\cos(15^\circ)=\frac{1}{4}$$; б) $$\sin(105^\circ)\cdot\sin(75^\circ)=-\frac{1}{4}$$.

а)

$$\cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ = \cos(90^\circ-15^\circ)\cdot \cos 15^\circ = \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$$

Используем формулу:
$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$
Тогда
$$\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac12 \sin 30^\circ = \frac12 \cdot \frac12 = \frac14.$$

Значит,
$$\cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac14.$$

б)

$$\sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \sin(180^\circ-75^\circ)\cdot \sin 75^\circ = \sin 75^\circ \cdot \sin 105^\circ$$

Так как
$$\sin 105^\circ = \sin(180^\circ-75^\circ)=\sin 75^\circ,$$
то
$$\sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \sin^2 75^\circ.$$

Но удобнее воспользоваться преобразованием:
$$\sin 105^\circ = \sin(90^\circ+15^\circ)=\cos 15^\circ,$$
следовательно,
$$\sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \cos 15^\circ \cdot \sin 75^\circ.$$

А
$$\sin 75^\circ = \sin(90^\circ-15^\circ)=\cos 15^\circ,$$
поэтому
$$\sin 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \cos 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \cos^2 15^\circ.$$

Используем формулу:
$$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}.$$
Тогда
$$\cos^2 15^\circ = \frac{1+\cos 30^\circ}{2} = \frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2},$$
что не равно $$-\frac14$$.

Следовательно, в условии для пункта б) имеется опечатка. Верное тождество из изображения:
$$\cos 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = -\frac14.$$
Докажем его:

$$\cos 105^\circ \cdot \sin 75^\circ = \cos(180^\circ-75^\circ)\cdot \sin 75^\circ = -\cos 75^\circ \cdot \sin 75^\circ$$

$$-\cos 75^\circ \cdot \sin 75^\circ = -\frac12 \sin 150^\circ = -\frac12 \cdot \frac12 = -\frac14.$$

Ответ

а) $$\frac14$$; б) $$-\frac14$$.