Упр.1487 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) tg(75°)-tg(15°); в) ctg(50°)-ctg(20°); д) tg(85°)+ctg(85°);
б) tg(25°)+tg(65°); г) ctg(11°)+ctg(34°); е) tg(25°)-ctg(75°).

1. а) $$\tg 75^\circ-\tg 15^\circ=\frac{\sin 75^\circ}{\cos 75^\circ}-\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}$$

   $$=\frac{\sin 75^\circ\cos 15^\circ-\sin 15^\circ\cos 75^\circ}{\cos 75^\circ\cos 15^\circ}$$

   $$=\frac{\sin(75^\circ-15^\circ)}{\cos 75^\circ\cos 15^\circ}=\frac{\sin 60^\circ}{\cos 75^\circ\cos 15^\circ}$$

   $$=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\cos 75^\circ\cos 15^\circ}$$

2. б) $$\tg 25^\circ+\tg 65^\circ=\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}+\frac{\sin 65^\circ}{\cos 65^\circ}$$

   $$=\frac{\sin 25^\circ\cos 65^\circ+\sin 65^\circ\cos 25^\circ}{\cos 25^\circ\cos 65^\circ}$$

   $$=\frac{\sin(25^\circ+65^\circ)}{\cos 25^\circ\cos 65^\circ}=\frac{\sin 90^\circ}{\cos 25^\circ\cos 65^\circ}$$

   $$=\frac{1}{\cos 25^\circ\cos 65^\circ}$$

3. в) $$\ctg 50^\circ-\ctg 20^\circ=\frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}-\frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}$$

   $$=\frac{\cos 50^\circ\sin 20^\circ-\cos 20^\circ\sin 50^\circ}{\sin 50^\circ\sin 20^\circ}$$

   $$=\frac{-\sin(50^\circ-20^\circ)}{\sin 50^\circ\sin 20^\circ}=\frac{-\sin 30^\circ}{\sin 50^\circ\sin 20^\circ}$$

   $$=-\frac{1}{2\sin 50^\circ\sin 20^\circ}$$

4. г) $$\ctg 11^\circ+\ctg 34^\circ=\frac{\cos 11^\circ}{\sin 11^\circ}+\frac{\cos 34^\circ}{\sin 34^\circ}$$

   $$=\frac{\cos 11^\circ\sin 34^\circ+\cos 34^\circ\sin 11^\circ}{\sin 11^\circ\sin 34^\circ}$$

   $$=\frac{\sin(11^\circ+34^\circ)}{\sin 11^\circ\sin 34^\circ}=\frac{\sin 45^\circ}{\sin 11^\circ\sin 34^\circ}$$

   $$=\frac{\sqrt2}{2\sin 11^\circ\sin 34^\circ}$$

5. д) $$\tg 85^\circ+\ctg 85^\circ=\frac{\sin 85^\circ}{\cos 85^\circ}+\frac{\cos 85^\circ}{\sin 85^\circ}$$

   $$=\frac{\sin^2 85^\circ+\cos^2 85^\circ}{\sin 85^\circ\cos 85^\circ}=\frac{1}{\sin 85^\circ\cos 85^\circ}$$

   $$=\frac{2}{\sin 170^\circ}=\frac{2}{\sin 10^\circ}$$

6. е) $$\tg 25^\circ-\ctg 75^\circ=\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}-\frac{\cos 75^\circ}{\sin 75^\circ}$$

   Так как $$\cos 75^\circ=\sin 15^\circ$$ и $$\sin 75^\circ=\cos 15^\circ,$$ то

   $$\tg 25^\circ-\ctg 75^\circ=\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}-\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}$$

   $$=\frac{\sin 25^\circ\cos 15^\circ-\sin 15^\circ\cos 25^\circ}{\cos 25^\circ\cos 15^\circ}$$

   $$=\frac{\sin(25^\circ-15^\circ)}{\cos 25^\circ\cos 15^\circ}=\frac{\sin 10^\circ}{\cos 25^\circ\cos 15^\circ}$$

Ответ

а) $$\dfrac{\sqrt3}{2\cos 75^\circ\cos 15^\circ}$$; б) $$\dfrac{1}{\cos 25^\circ\cos 65^\circ}$$; в) $$-\dfrac{1}{2\sin 50^\circ\sin 20^\circ}$$; г) $$\dfrac{\sqrt2}{2\sin 11^\circ\sin 34^\circ}$$; д) $$\dfrac{2}{\sin 10^\circ}$$; е) $$\dfrac{\sin 10^\circ}{\cos 25^\circ\cos 15^\circ}$$.