Упр.1486 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите, что:

• а) $$\operatorname{tg}(?)+\operatorname{tg}(?)=\frac{\sin(?+?)}{\cos(?)\cos(?)}$$;
• б) $$\operatorname{tg}(?)-\operatorname{tg}(?)=\frac{\sin(?-?)}{\cos(?)\cos(?)}$$.

Используем определение тангенса: $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}, \qquad \tg \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}.$$

а)

$$\tg a+\tg \beta=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta} =\frac{\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta}{\cos a\cos \beta}.$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin(a+\beta)=\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta.$$

Тогда

$$\tg a+\tg \beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\cos a\cos \beta}.$$

б)

$$\tg a-\tg \beta=\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin \beta}{\cos \beta} =\frac{\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta}{\cos a\cos \beta}.$$

По формуле разности синусов:

$$\sin(a-\beta)=\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta.$$

Следовательно,

$$\tg a-\tg \beta=\frac{\sin(a-\beta)}{\cos a\cos \beta}.$$

Ответ

$$\text{а) } \tg a+\tg \beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\cos a\cos \beta}, \qquad \text{б) } \tg a-\tg \beta=\frac{\sin(a-\beta)}{\cos a\cos \beta}.$$