Упр.1483 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:

а) $$\frac{\sin(37^\circ)+\sin(23^\circ)}{\sin(37^\circ)-\sin(23^\circ)}$$;
б) $$\frac{\cos(20^\circ)-\cos(140^\circ)}{\cos(20^\circ)+\cos(140^\circ)}$$;
в) $$\frac{\sin(55^\circ)-\sin(35^\circ)}{\cos(55^\circ)+\cos(35^\circ)}$$;
г) $$\frac{\cos(25^\circ)-\cos(85^\circ)}{\sin(25^\circ)+\sin(85^\circ)}$$;
д) $$\frac{\cos(?)-\cos(?)}{\cos(?)+\cos(?)}$$;
е) $$\frac{\sin(?)+\sin(?)}{\sin(?)-\sin(?)}$$;
ж) $$\frac{\sin(45^\circ+?)+\sin(45^\circ-?)}{\sin(45^\circ+?)-\sin(45^\circ-?)}$$;
з) $$\frac{\cos(45^\circ-?)+\cos(45^\circ+?)}{\sin(45^\circ-?)+\sin(45^\circ+?)}$$.

Подробный ответ

Используем формулы:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2},$$

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2},$$

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2},$$

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

$$\frac{\sin 37^\circ+\sin 23^\circ}{\sin 37^\circ-\sin 23^\circ} = \frac{2\sin 30^\circ\cos 7^\circ}{2\cos 30^\circ\sin 7^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}\ctg 7^\circ.$$
$$\frac{\cos 20^\circ-\cos 140^\circ}{\cos 20^\circ+\cos 140^\circ} = \frac{2\sin 80^\circ\sin 60^\circ}{2\cos 80^\circ\cos 60^\circ} = \sqrt{3}\tg 80^\circ.$$
$$\frac{\sin 55^\circ-\sin 35^\circ}{\cos 55^\circ+\cos 35^\circ} = \frac{2\cos 45^\circ\sin 10^\circ}{2\cos 45^\circ\cos 10^\circ} = \tg 10^\circ.$$
$$\frac{\cos 25^\circ-\cos 85^\circ}{\sin 25^\circ+\sin 85^\circ} = \frac{2\sin 55^\circ\sin 30^\circ}{2\sin 55^\circ\cos 30^\circ} = \tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
$$\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{\cos \alpha+\cos \beta} = \frac{-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = \tg\frac{\alpha+\beta}{2}\,\tg\frac{\beta-\alpha}{2}.$$
$$\frac{\sin \alpha+\sin \beta}{\sin \alpha-\sin \beta} = \frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}} = \tg\frac{\alpha+\beta}{2}\,\ctg\frac{\alpha-\beta}{2}.$$
$$\frac{\sin(45^\circ+a)+\sin(45^\circ-a)}{\sin(45^\circ+a)-\sin(45^\circ-a)} = \frac{2\sin 45^\circ\cos a}{2\cos 45^\circ\sin a} = \ctg a.$$
$$\frac{\cos(45^\circ-a)+\cos(45^\circ+a)}{\sin(45^\circ-a)+\sin(45^\circ+a)} = \frac{2\cos 45^\circ\cos a}{2\sin 45^\circ\cos a} = 1.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{3}}{3}\ctg 7^\circ$$; б) $$\sqrt{3}\tg 80^\circ$$; в) $$\tg 10^\circ$$; г) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$; д) $$\tg\frac{\alpha+\beta}{2}\,\tg\frac{\beta-\alpha}{2}$$; е) $$\tg\frac{\alpha+\beta}{2}\,\ctg\frac{\alpha-\beta}{2}$$; ж) $$\ctg a$$; з) $$1$$.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

3.6 / 5

Другие учебники