Упр.1482 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Представьте в виде суммы или разности:
   а) $$2\sin(27^\circ)\cos(9^\circ)$$;
   д) $$\cos(x+1)\cos(x-1)$$;
   б) $$-2\sin(25^\circ)\sin(15^\circ)$$;
   е) $$2\sin(a+b)\cos(a-b)$$;
   в) $$2\sin(?)\cos(3?)$$;
   ж) $$\sin(m+n)\sin(m-n)$$;
   г) $$2\cos(2?)\cos(?)$$;
   з) $$\sin(2x+3)\sin(x-3)$$.

Используем формулы преобразования произведения в сумму:

$$2\sin \alpha \cos \beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$$
$$-2\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)$$
$$2\cos \alpha \cos \beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)$$
$$2\sin \alpha \cos \beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$$

1. $$2\sin 27^\circ \cos 9^\circ=\sin(27^\circ+9^\circ)+\sin(27^\circ-9^\circ)=\sin 36^\circ+\sin 18^\circ.$$

2. $$-2\sin 25^\circ \sin 15^\circ=\cos(25^\circ+15^\circ)-\cos(25^\circ-15^\circ)=\cos 40^\circ-\cos 10^\circ.$$

3. $$2\sin a \cos 3a=\sin(a+3a)+\sin(a-3a)=\sin 4a-\sin 2a.$$

4. $$2\cos 2a \cos a=\cos(2a+a)+\cos(2a-a)=\cos 3a+\cos a.$$

5. $$\cos(x+1)\cos(x-1)=\frac12\bigl(\cos((x+1)+(x-1))+\cos((x+1)-(x-1))\bigr)$$
   $$=\frac12(\cos 2x+\cos 2).$$

6. $$2\sin(a+b)\cos(a-b)=\sin\bigl((a+b)+(a-b)\bigr)+\sin\bigl((a+b)-(a-b)\bigr)$$
   $$=\sin 2a+\sin 2b.$$

7. $$\sin(m+n)\sin(m-n)=\frac12\bigl(\cos((m+n)-(m-n))-\cos((m+n)+(m-n))\bigr)$$
   $$=\frac12(\cos 2n-\cos 2m).$$

8. $$\sin(2x+3)\sin(x-3)=\frac12\bigl(\cos((2x+3)-(x-3))-\cos((2x+3)+(x-3))\bigr)$$
   $$=\frac12(\cos(x+6)-\cos 3x).$$

Ответ

а) $$\sin 36^\circ+\sin 18^\circ$$; б) $$\cos 40^\circ-\cos 10^\circ$$; в) $$\sin 4a-\sin 2a$$; г) $$\cos 3a+\cos a$$; д) $$\frac12(\cos 2x+\cos 2)$$; е) $$\sin 2a+\sin 2b$$; ж) $$\frac12(\cos 2n-\cos 2m)$$; з) $$\frac12(\cos(x+6)-\cos 3x)$$.