Упр.1481 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin^2(?)-sin^2(?); в) 3/4-sin^2(x);
б) cos^2(?)-cos^2(?); г) sin^2(x)-1/2.

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

1. $$\sin^2 a-\sin^2 \beta=(\sin a-\sin \beta)(\sin a+\sin \beta).$$

   По формулам суммы и разности синусов:

   $$\sin a-\sin \beta=2\sin\frac{a-\beta}{2}\cos\frac{a+\beta}{2},$$

   $$\sin a+\sin \beta=2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}.$$

   Тогда

   $$\sin^2 a-\sin^2 \beta=\sin(a-\beta)\sin(a+\beta).$$

2. $$\cos^2 a-\cos^2 \beta=(\cos a-\cos \beta)(\cos a+\cos \beta).$$

   По формулам суммы и разности косинусов:

   $$\cos a-\cos \beta=-2\sin\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a-\beta}{2},$$

   $$\cos a+\cos \beta=2\cos\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\cos^2 a-\cos^2 \beta=\sin(\beta-a)\sin(a+\beta).$$

3. $$\frac34-\sin^2 x=\sin^2\frac{\pi}{3}-\sin^2 x.$$

   Применим формулу из пункта 1:

   $$\sin^2\frac{\pi}{3}-\sin^2 x=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right).$$

4. $$\sin^2 x-\frac12=\sin^2 x-\sin^2\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$\sin^2 x-\frac12=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ

$$\sin^2 a-\sin^2 \beta=\sin(a-\beta)\sin(a+\beta),$$

$$\cos^2 a-\cos^2 \beta=\sin(\beta-a)\sin(a+\beta),$$

$$\frac34-\sin^2 x=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right),$$

$$\sin^2 x-\frac12=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$