Упр.1480 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1+2cos(x); в) 2sin(x)+v2; д) v3+2cos(x);
б) v3-2sin(x); г) 2cos(x)-v2; е) 2sin(x)-v2.

1. а) $$1+2\cos x=2\left(\frac12+\cos x\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\right).$$

   По формуле суммы косинусов:

   $$1+2\cos x=4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right).$$

2. б) $$\sqrt3-2\sin x=2\left(\frac{\sqrt3}{2}-\sin x\right)=2\left(\sin\frac{\pi}{3}-\sin x\right).$$

   По формуле разности синусов:

   $$\sqrt3-2\sin x=4\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right).$$

3. в) $$2\sin x+\sqrt2=2\left(\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\left(\sin x+\sin\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin x+\sqrt2=4\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right).$$

4. г) $$2\cos x-\sqrt2=2\left(\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\left(\cos x-\cos\frac{\pi}{4}\right).$$

   По формуле разности косинусов:

   $$2\cos x-\sqrt2=4\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right).$$

5. д) $$\sqrt3+2\cos x=2\left(\frac{\sqrt3}{2}+\cos x\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\right).$$

   Следовательно,

   $$\sqrt3+2\cos x=4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{x}{2}\right).$$

6. е) $$2\sin x-\sqrt2=2\left(\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\left(\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$2\sin x-\sqrt2=4\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right).$$

Ответ

а) $$4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right);$$
б) $$4\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right);$$
в) $$4\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right);$$
г) $$4\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right);$$
д) $$4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{x}{2}\right);$$
е) $$4\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right).$$