Упр.1475 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\sin(?-30^\circ)-\sin(?+30^\circ)=-\cos(?)$$;
   б) $$\cos(?+60^\circ)+\cos(?-60^\circ)=\cos(?)$$.

а) Применим формулу разности синусов:

$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

Пусть $$x=a-30^\circ,$$ $$y=a+30^\circ.$$ Тогда

$$\sin(a-30^\circ)-\sin(a+30^\circ) =2\cos\frac{(a-30^\circ)+(a+30^\circ)}{2}\sin\frac{(a-30^\circ)-(a+30^\circ)}{2}$$

$$=2\cos a\sin(-30^\circ) =-2\cos a\cdot \frac12 =-\cos a.$$

Следовательно, тождество верно.

б) Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Пусть $$x=a+60^\circ,$$ $$y=a-60^\circ.$$ Тогда

$$\cos(a+60^\circ)+\cos(a-60^\circ) =2\cos\frac{(a+60^\circ)+(a-60^\circ)}{2}\cos\frac{(a+60^\circ)-(a-60^\circ)}{2}$$

$$=2\cos a\cos 60^\circ =2\cos a\cdot \frac12 =\cos a.$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

а) $$\sin(a-30^\circ)-\sin(a+30^\circ)=-\cos a$$;

б) $$\cos(a+60^\circ)+\cos(a-60^\circ)=\cos a$$.