Упр.1474 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1474. Решите систему уравнений {x^2-y^2=-3/2xy, x^2+xy=-3y}.

Из второго уравнения выразим $$x^2$$:

$$x^2+xy=-3y \;\Rightarrow\; x^2=-xy-3y.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$x^2-y^2=-\frac{3}{2}xy$$

$$-xy-3y-y^2=-\frac{3}{2}xy$$

Умножим на $$2$$:

$$-2xy-6y-2y^2=-3xy$$

$$xy-2y^2-6y=0$$

$$y(x-2y-6)=0.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$y=0.$$ Тогда из второго уравнения:

$$x^2=0 \Rightarrow x=0.$$

Получаем решение $$ (0;0). $$

2) $$x-2y-6=0,$$ то есть $$x=2y+6.$$ Подставим во второе уравнение:

$$x^2+xy=-3y$$

$$ (2y+6)^2+y(2y+6)=-3y$$

$$4y^2+24y+36+2y^2+6y=-3y$$

$$6y^2+33y+36=0$$

$$2y^2+11y+12=0$$

$$ (2y+3)(y+4)=0.$$

Отсюда:

$$y=-\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad y=-4.$$

Если $$y=-\frac{3}{2},$$ то $$x=2y+6=3.$$

Если $$y=-4,$$ то $$x=2y+6=-2.$$

Итак, получаем решения системы:

$$(-2;-4),\ (0;0),\ (3;-\frac{3}{2}).$$

Ответ

$$(-2;-4),\ (0;0),\ (3;-\frac{3}{2})$$