Упр.1473 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Упростите выражение:

а) $$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-\sin\alpha$$;

б) $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\cos\alpha$$.

а) $$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin a$$

Используем формулу косинуса разности:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos a+\sin\frac{\pi}{4}\sin a$$

Тогда

$$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin a =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a\right)-\sin a$$

$$=\cos a+\sin a-\sin a=\cos a$$

б) $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos a$$

Используем формулу синуса суммы:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos a+\cos\frac{\pi}{4}\sin a$$

Тогда

$$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos a =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a\right)-\cos a$$

$$=\cos a+\sin a-\cos a=\sin a$$

Ответ

а) $$\cos a$$; б) $$\sin a$$.