Упр.1472 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1472. Решите уравнение sin(x+?/6)+cos(x-?/6)=0.

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

Раскроем скобки по формулам сложения:

$$\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}+\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6}=0.$$

Так как
$$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$
получаем:

$$\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\frac12(\sqrt3+1)\sin x+\frac12(\sqrt3+1)\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac12(\sqrt3+1)(\sin x+\cos x)=0.$$

Так как $$\frac12(\sqrt3+1)\neq 0,$$ то

$$\sin x+\cos x=0.$$

Разделим на $$\cos x$$:

$$\tan x+1=0,$$

$$\tan x=-1.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$