Упр.1471 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) cos(2x)+3sin^2(x); б) sin^4(x)+cos^4(x).

а) Преобразуем выражение:

$$\cos 2x+3\sin^2 x=\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)+3\sin^2 x=\cos^2 x+2\sin^2 x.$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ то

$$\cos^2 x+2\sin^2 x=1+\sin^2 x.$$

Поскольку $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ получаем:

$$1\le 1+\sin^2 x\le 2.$$

Значит, наименьшее значение равно $$1,$$ а наибольшее — $$2.$$

б) Преобразуем выражение:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ то

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ тогда

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x,$$

и значит

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-\frac{1}{2}\sin^2 2x.$$

Так как $$0\le \sin^2 2x\le 1,$$ получаем:

$$\frac{1}{2}\le 1-\frac{1}{2}\sin^2 2x\le 1.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$\frac{1}{2},$$ а наибольшее — $$1.$$

Ответ

а) $$1$$ и $$2$$; б) $$\frac{1}{2}$$ и $$1$$.