Упр.1470 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   а) $$\sin(2x)<2\sin(x)$$, если $$0 б) $$\sin(2x)<2\cos(x)$$, если $$-\frac{\pi}{2}

а) Используем формулу двойного угла:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Тогда нужно доказать, что

$$2\sin x\cos x<2\sin x.$$

Так как $$0<x<\pi,$$ то $$\sin x>0.$$ Делим обе части неравенства на положительное число $$2\sin x$$:

$$\cos x<1.$$

Это верно при всех $$x,$$ значит, неравенство доказано.

б) Снова применим формулу двойного угла:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Тогда требуется доказать, что

$$2\sin x\cos x<2\cos x.$$

При $$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos x>0.$$ Делим обе части неравенства на положительное число $$2\cos x$$:

$$\sin x<1.$$

Это верно при всех $$x,$$ значит, неравенство доказано.

Ответ

а) $$\sin 2x<2\sin x$$ при $$0<x<\pi.$$

б) $$\sin 2x<2\cos x$$ при $$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}.$$