Упр.1469 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin(10°)sin(50°)sin(70°)=1/8;
б) cos(?/7)cos(4?/7)cos(5?/7)=1/4.

а) Используем формулу произведения синусов:

$$\sin 3x \sin 2x \sin x=\frac{1}{4}\sin x\sin 2x\sin 3x$$

Возьмём более удобное преобразование через формулу

$$\sin 3x=4\sin x\sin\left(60^\circ+x\right)\sin\left(60^\circ-x\right).$$

При $$x=10^\circ$$ получаем:

$$\sin 30^\circ=4\sin 10^\circ\sin 50^\circ\sin 70^\circ.$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ то

$$4\sin 10^\circ\sin 50^\circ\sin 70^\circ=\frac12,$$

откуда

$$\sin 10^\circ\sin 50^\circ\sin 70^\circ=\frac18.$$

б) Используем формулу

$$\cos 3x=4\cos x\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right).$$

При $$x=\frac{\pi}{7}$$ имеем:

$$\cos\frac{3\pi}{7}=4\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}.$$

Но

$$\cos\frac{3\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{4\pi}{7}\right)=-\cos\frac{4\pi}{7}.$$

Тогда

$$4\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}=-\cos\frac{4\pi}{7}.$$

Так как $$\cos\frac{5\pi}{7}=-\cos\frac{2\pi}{7},$$ то

$$4\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\left(-\cos\frac{2\pi}{7}\right)=-\cos\frac{4\pi}{7}.$$

Сокращая на $$-\cos\frac{4\pi}{7}\neq 0,$$ получаем

$$4\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=1.$$

Следовательно,

$$\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}=\frac18.$$

Ответ

а) $$\frac18$$; б) $$\frac18$$.