Упр.1465 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1465. Используя формулы половинного угла, найдите значения синуса, косинуса и тангенса угла 22°30′.

Используем формулы половинного угла:

$$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}, \qquad \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}.$$

Так как $$22^\circ 30’=\frac{45^\circ}{2},$$ то при $$\alpha=45^\circ$$ получаем:

$$\sin 22^\circ 30’=\sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}} =\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

$$\cos 22^\circ 30’=\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}} =\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

$$\tan 22^\circ 30’=\frac{\sin 45^\circ}{1+\cos 45^\circ} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2} =\sqrt2-1.$$

Ответ

$$\sin 22^\circ 30’=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}, \qquad \cos 22^\circ 30’=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}, \qquad \tan 22^\circ 30’=\sqrt2-1.$$