Упр.1464 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1464. Вычислите значения sin(?/2), cos(?/2) и tg(?/2), если sin(?)=14/50 и ?/2 < ? < ?.

Так как $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то угол $$a$$ лежит во II четверти, значит $$\cos a<0.$$

Найдём косинус угла:

$$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{14}{50}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{196}{2500}} =-\sqrt{\frac{2304}{2500}} =-\frac{24}{25}. $$

Теперь используем формулы половинного угла:

$$ \sin \frac a2=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}},\qquad \cos \frac a2=\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}},\qquad \tg \frac a2=\frac{\sin a}{1+\cos a}. $$

Подставим найденное значение $$\cos a=-\frac{24}{25}$$:

$$ \sin \frac a2=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{24}{25}\right)}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{49}{50}} =\frac{7\sqrt2}{10}, $$

$$ \cos \frac a2=\sqrt{\frac{1+\left(-\frac{24}{25}\right)}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{1}{50}} =\frac{\sqrt2}{10}, $$

$$ \tg \frac a2=\frac{\sin a}{1+\cos a} =\frac{\frac{14}{50}}{1-\frac{24}{25}} =\frac{\frac{7}{25}}{\frac{1}{25}} =7. $$

Ответ

$$\sin \frac a2=\frac{7\sqrt2}{10},\quad \cos \frac a2=\frac{\sqrt2}{10},\quad \tg \frac a2=7.$$