Упр.1463 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1463. Найдите sin(?/2), cos(?/2) и tg(?/2), если cos(?)=1/3 и 0 < ? < ?/2.

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ и $$\cos \alpha=\frac13,$$ то угол $$\frac{\alpha}{2}$$ тоже острый, значит, значения синуса и косинуса берём со знаком «плюс».

Используем формулы половинного угла:

$$ \sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} $$

Тогда

$$ \sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac13}{2}} =\sqrt{\frac{\frac23}{2}} =\sqrt{\frac13} =\frac{\sqrt3}{3}, $$

$$ \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac13}{2}} =\sqrt{\frac{\frac43}{2}} =\sqrt{\frac23} =\frac{\sqrt6}{3}. $$

Найдём тангенс:

$$ \tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{\frac{\sqrt3}{3}}{\frac{\sqrt6}{3}} =\frac{\sqrt3}{\sqrt6} =\frac{1}{\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2}. $$

Ответ

$$ \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt3}{3}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt6}{3}, \qquad \tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt2}{2}. $$