Упр.1460 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:
а) $$\left(\sin(?) — \sin(?)\right)^2+\left(\cos(?) — \cos(?)\right)^2$$;
б) $$\cos(?)\left(\cos(?) + \cos(?)\right)+\sin(?)\left(\sin(?) + \sin(?)\right)$$;
в) $$\frac{1-\cos(2x)+\sin(2x)}{1+\cos(2x)+\sin(2x)}$$;
г) $$\frac{\cos(?)}{\sin(?)}-\frac{\sin(?)}{\cos(?)}-2\operatorname{tg}(2?)$$.

Подробный ответ

а) Раскроем скобки и применим формулы $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и $$\cos a\cos b+\sin a\sin b=\cos(a-b)$$:

$$(\sin a-\sin b)^2+(\cos a-\cos b)^2$$
$$=\sin^2 a+\sin^2 b-2\sin a\sin b+\cos^2 a+\cos^2 b-2\cos a\cos b$$
$$=(\sin^2 a+\cos^2 a)+(\sin^2 b+\cos^2 b)-2(\sin a\sin b+\cos a\cos b)$$
$$=1+1-2\cos(a-b)=2\bigl(1-\cos(a-b)\bigr).$$

б) Сгруппируем слагаемые и снова используем основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности:

$$\cos a(\cos a+\cos b)+\sin a(\sin a+\sin b)$$
$$=\cos^2 a+\cos a\cos b+\sin^2 a+\sin a\sin b$$
$$=(\cos^2 a+\sin^2 a)+(\cos a\cos b+\sin a\sin b)$$
$$=1+\cos(a-b).$$

в) Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x} = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x-\cos^2 x+\sin^2 x+2\sin x\cos x}{\sin^2 x+\cos^2 x+\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x}$$
$$= \frac{2\sin^2 x+2\sin x\cos x}{2\cos^2 x+2\sin x\cos x} = \frac{2\sin x(\sin x+\cos x)}{2\cos x(\cos x+\sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} =\tg x.$$

г) Приведём к общему знаменателю и используем формулы $$\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a$$, $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$:

$$\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}-2\tg 2a = \frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a\cos a}-2\tg 2a$$
$$= \frac{\cos 2a}{\sin a\cos a}-2\tg 2a = \frac{2\cos 2a}{\sin 2a}-\frac{2\sin 2a}{\cos 2a}$$
$$= \frac{2(\cos^2 2a-\sin^2 2a)}{\sin 2a\cos 2a} = \frac{4\cos 4a}{\sin 4a} =4\ctg 4a.$$