Упр.1459 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) cos^4(?)-sin^4(?)=cos(2?); в) ctg(2?)-sin(2?)=ctg(?)cos(2?);
б) sin(2?)-tg(?)=cos(2?)tg(?); г) 1/(1-tg(?))-1/(1+tg(?))=tg(2?).

а)

$$\cos^4 a-\sin^4 a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a).$$

Так как $$\cos^2 a+\sin^2 a=1,$$ а $$\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a,$$ то

$$\cos^4 a-\sin^4 a=\cos 2a\cdot 1=\cos 2a.$$

Тождество доказано.

б)

$$\sin 2\beta-\tg \beta=2\sin \beta\cos \beta-\frac{\sin \beta}{\cos \beta}.$$

Приведём к общему множителю:

$$2\sin \beta\cos \beta-\frac{\sin \beta}{\cos \beta} =\frac{\sin \beta}{\cos \beta}(2\cos^2 \beta-1).$$

Так как $$2\cos^2 \beta-1=\cos 2\beta,$$ получаем

$$\sin 2\beta-\tg \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}\cos 2\beta=\tg \beta\cos 2\beta.$$

Тождество доказано.

в)

$$\ctg \varphi-\sin 2\varphi=\frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}-2\sin \varphi\cos \varphi.$$

Вынесем $$\frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}$$ за скобки:

$$\frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}-2\sin \varphi\cos \varphi =\frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}(1-2\sin^2 \varphi).$$

Так как $$1-2\sin^2 \varphi=\cos 2\varphi$$ и $$1-\sin^2 \varphi=\cos^2 \varphi,$$ то

$$\frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}(1-2\sin^2 \varphi) =\ctg \varphi\cos 2\varphi.$$

Тождество доказано.

г)

$$\frac{1}{1-\tg a}-\frac{1}{1+\tg a} =\frac{(1+\tg a)-(1-\tg a)}{(1-\tg a)(1+\tg a)}.$$

Тогда

$$\frac{(1+\tg a)-(1-\tg a)}{(1-\tg a)(1+\tg a)} =\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}.$$

По формуле
$$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a},$$
получаем

$$\frac{1}{1-\tg a}-\frac{1}{1+\tg a}=\tg 2a.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos^4 a-\sin^4 a=\cos 2a$$; б) $$\sin 2\beta-\tg \beta=\cos 2\beta\cdot \tg \beta$$; в) $$\ctg \varphi-\sin 2\varphi=\ctg \varphi\cos 2\varphi$$; г) $$\dfrac{1}{1-\tg a}-\dfrac{1}{1+\tg a}=\tg 2a$$.