Упр.1458 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. 1458. Преобразуйте выражение:
   а) $$\frac{2\sin^2(?/2)}{\sin(?)}$$;
   б) $$\frac{\cos(?)}{\cos(?/2)-\sin(?/2)}$$;
   в) $$\frac{\cos^2(2?)}{\sin(4?)}$$;
   г) $$\frac{(\sin(?)+\cos(?))^2}{1-\sin^2(2?)}$$.

а) Используем формулу $$\sin a=2\sin \frac a2 \cos \frac a2$$:

$$\frac{2\sin^2 \frac a2}{\sin a} = \frac{2\sin^2 \frac a2}{2\sin \frac a2 \cos \frac a2} = \frac{\sin \frac a2}{\cos \frac a2} = \tg \frac a2.$$

б) Преобразуем числитель по формуле $$\cos \beta=\cos^2 \frac \beta2-\sin^2 \frac \beta2$$:

$$\frac{\cos \beta}{\cos \frac \beta2-\sin \frac \beta2} = \frac{\cos^2 \frac \beta2-\sin^2 \frac \beta2}{\cos \frac \beta2-\sin \frac \beta2} = \frac{\left(\cos \frac \beta2-\sin \frac \beta2\right)\left(\cos \frac \beta2+\sin \frac \beta2\right)}{\cos \frac \beta2-\sin \frac \beta2} = \cos \frac \beta2+\sin \frac \beta2.$$

в) Используем формулу $$\sin 4a=2\sin 2a\cos 2a$$:

$$\frac{\cos^2 2a}{\sin 4a} = \frac{\cos^2 2a}{2\sin 2a\cos 2a} = \frac{\cos 2a}{2\sin 2a} = \frac12 \ctg 2a.$$

г) Раскроем квадрат и применим формулу $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

$$\frac{(\sin a+\cos a)^2}{1-\sin^2 2a} = \frac{\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a}{1-\sin^2 2a} = \frac{1+\sin 2a}{1-\sin^2 2a}.$$

Так как $$1-\sin^2 2a=(1-\sin 2a)(1+\sin 2a)$$, получаем:

$$\frac{1+\sin 2a}{(1-\sin 2a)(1+\sin 2a)} = \frac{1}{1-\sin 2a}.$$

Ответ

а) $$\tg \frac a2$$; б) $$\cos \frac \beta2+\sin \frac \beta2$$; в) $$\frac12 \ctg 2a$$; г) $$\frac{1}{1-\sin 2a}$$.