Упр.1458 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 2sin^2(?/2)/sin(?); б) cos(?)/(cos(?/2)-sin(?/2));
в) cos^2(2?)/sin(4?); г) (sin(?)+cos(?))^2/(1-sin^2(2?)).

а) Используем формулу $$\sin a=2\sin \frac a2 \cos \frac a2$$:

$$ \frac{2\sin^2 \frac a2}{\sin a} = \frac{2\sin^2 \frac a2}{2\sin \frac a2 \cos \frac a2} = \frac{\sin \frac a2}{\cos \frac a2} = \tg \frac a2. $$

б) Преобразуем числитель по формуле $$\cos \beta=\cos^2 \frac \beta2-\sin^2 \frac \beta2$$:

$$ \frac{\cos \beta}{\cos \frac \beta2-\sin \frac \beta2} = \frac{\cos^2 \frac \beta2-\sin^2 \frac \beta2}{\cos \frac \beta2-\sin \frac \beta2} = \frac{\left(\cos \frac \beta2-\sin \frac \beta2\right)\left(\cos \frac \beta2+\sin \frac \beta2\right)}{\cos \frac \beta2-\sin \frac \beta2} = \cos \frac \beta2+\sin \frac \beta2. $$

в) Используем формулу $$\sin 4a=2\sin 2a\cos 2a$$:

$$ \frac{\cos^2 2a}{\sin 4a} = \frac{\cos^2 2a}{2\sin 2a\cos 2a} = \frac{\cos 2a}{2\sin 2a} = \frac12 \ctg 2a. $$

г) Раскроем квадрат и применим формулу $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

$$ \frac{(\sin a+\cos a)^2}{1-\sin^2 2a} = \frac{\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a}{1-\sin^2 2a} = \frac{1+\sin 2a}{1-\sin^2 2a}. $$

Так как $$1-\sin^2 2a=(1-\sin 2a)(1+\sin 2a)$$, получаем:

$$ \frac{1+\sin 2a}{(1-\sin 2a)(1+\sin 2a)} = \frac{1}{1-\sin 2a}. $$

Ответ

а) $$\tg \frac a2$$; б) $$\cos \frac \beta2+\sin \frac \beta2$$; в) $$\frac12 \ctg 2a$$; г) $$\frac{1}{1-\sin 2a}$$.