Упр.1457 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1-2sin^2(?); в) ctg(?)-tg(?);
б) 2cos^2(?)-1; г) (1-tg^2(?))/(1+tg^2(?)).

Используем основные тригонометрические тождества:

$$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$

$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=1-2\sin^2 a=2\cos^2 a-1,$$

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}, \qquad \ctg a=\frac{\cos a}{\sin a}.$$

1. $$1-2\sin^2 a=\sin^2 a+\cos^2 a-2\sin^2 a=\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a.$$

2. $$2\cos^2 a-1=2\cos^2 a-\sin^2 a-\cos^2 a=\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a.$$

3. $$\ctg a-\tg a=\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a\cos a}.$$

   Так как $$\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a$$ и $$2\sin a\cos a=\sin 2a,$$ то

   $$\ctg a-\tg a=\frac{\cos 2a}{\sin a\cos a}=2\ctg 2a.$$

4. $$\frac{1-\tg^2 a}{1+\tg^2 a}=\frac{1-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{1+\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}=\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a+\sin^2 a}=\cos 2a.$$

Ответ

а) $$\cos 2a$$; б) $$\cos 2a$$; в) $$2\ctg 2a$$; г) $$\cos 2a$$.