Упр.1453 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1453. Найдите значения sin(?), cos(?), tg(?) и ctg(?), если tg(?/2)=0,5.

Используем формулы через тангенс половинного угла. Пусть $$tg\frac{a}{2}=0{,}5=\frac{1}{2}.$$ Тогда

$$ sin a=\frac{2tg\frac{a}{2}}{1+tg^2\frac{a}{2}} =\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2} =\frac{1}{1+\frac{1}{4}} =\frac{1}{\frac{5}{4}} =\frac{4}{5}. $$

$$ cos a=\frac{1-tg^2\frac{a}{2}}{1+tg^2\frac{a}{2}} =\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2} =\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}} =\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} =\frac{3}{5}. $$

$$ tg a=\frac{2tg\frac{a}{2}}{1-tg^2\frac{a}{2}} =\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} =\frac{1}{1-\frac{1}{4}} =\frac{1}{\frac{3}{4}} =\frac{4}{3}. $$

$$ ctg a=\frac{1}{tg a}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}. $$

Ответ

$$sin a=\frac{4}{5},\quad cos a=\frac{3}{5},\quad tg a=\frac{4}{3},\quad ctg a=\frac{3}{4}.$$