Упр.1452 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1452. Вычислите sin(2О±), cos(2О±) Рё tg(2О±), если tg(О±)=2,4 Рё ПЂ < О± < 3ПЂ/2.

Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$, то угол $$\alpha$$ лежит в III четверти, значит $$\sin\alpha<0$$ и $$\cos\alpha<0$$.

Используем формулу связи тангенса с синусом и косинусом:

$$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}.$$

Тогда

$$\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{144}{25}}}=-\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{25}}}=-\frac{5}{13}.$$

Теперь найдём синус:

$$\sin\alpha=\tg\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{13}.$$

Вычислим двойной угол:

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{120}{169},$$

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\left(-\frac{5}{13}\right)^2-\left(-\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}-\frac{144}{169}=-\frac{119}{169}.$$

Тогда

$$\tg2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{120/169}{-119/169}=-\frac{120}{119}=-1\frac{1}{119}.$$

Ответ

$$\sin2\alpha=\frac{120}{169},\quad \cos2\alpha=-\frac{119}{169},\quad \tg2\alpha=-\frac{120}{119}.$$