Упр.145 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Имеет ли целые корни уравнение:
   а) $$x^5+2x^4-3x^3+2x^2-1=0$$;
   б) $$x^6-x^4+x^2+x-2=0$$?
2. Докажите тождество $$2(a^2+ab+b^2)^2=a^4+b^4+(a+b)^4$$.

Раскроем квадрат суммы в левой части:

$$2(a^2+ab+b^2)^2=2\bigl((a^2+b^2)^2+2ab(a^2+b^2)+(ab)^2\bigr)$$
$$=2(a^4+2a^2b^2+b^4+2a^3b+2ab^3+a^2b^2)$$
$$=2(a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3)$$
$$=2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3.$$

Теперь раскроем правую часть:

$$a^4+b^4+(a+b)^4=a^4+b^4+\bigl(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\bigr)$$
$$=2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3.$$

Получили одинаковые выражения в обеих частях, значит тождество верно.

Ответ

$$2(a^2+ab+b^2)^2=a^4+b^4+(a+b)^4.$$