Упр.145 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 145. Докажите тождество 2(a^2+ab+b^2)^2=a^4+b^4+(a+b)^4.

Раскроем квадрат суммы в левой части:

$$ 2(a^2+ab+b^2)^2=2\bigl((a^2+b^2)^2+2ab(a^2+b^2)+(ab)^2\bigr) $$
$$ =2(a^4+2a^2b^2+b^4+2a^3b+2ab^3+a^2b^2) $$
$$ =2(a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3) $$
$$ =2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3. $$

Теперь раскроем правую часть:

$$ a^4+b^4+(a+b)^4=a^4+b^4+\bigl(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\bigr) $$
$$ =2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3. $$

Получили одинаковые выражения в обеих частях, значит тождество верно.

Ответ

$$ 2(a^2+ab+b^2)^2=a^4+b^4+(a+b)^4. $$