Упр.1448 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1448. Корнями уравнения x^2+ax+2=0 являются числа x_1 и x_2, а уравнения x^2+bx+32=0 — числа x_3 и x_4. Найдите а и b, если x_1, x_2, x_3, x_4 — геометрическая прогрессия.

Так как числа $$x_1, x_2, x_3, x_4$$ образуют геометрическую прогрессию, то можно записать:

$$x_2=x_1q,\quad x_3=x_1q^2,\quad x_4=x_1q^3.$$

Для уравнения $$x^2+ax+2=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=-a,\quad x_1x_2=2.$$

Подставим $$x_2=x_1q$$:

$$x_1+x_1q=-a,\quad x_1^2q=2.$$

Отсюда

$$a=-x_1(1+q).$$

Для уравнения $$x^2+bx+32=0$$ по теореме Виета:

$$x_3+x_4=-b,\quad x_3x_4=32.$$

Подставим $$x_3=x_1q^2,\; x_4=x_1q^3$$:

$$x_1q^2+x_1q^3=-b,\quad x_1^2q^5=32.$$

Отсюда

$$b=-x_1q^2(1+q).$$

Найдём $$q$$ из отношения произведений:

$$\frac{x_1x_2}{x_3x_4}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}.$$

С другой стороны,

$$\frac{x_1\cdot x_1q}{x_1q^2\cdot x_1q^3}=\frac{1}{q^4}.$$

Значит,

$$\frac{1}{q^4}=\frac{1}{16},\quad q^4=16,\quad q=\pm 2.$$

Теперь из $$x_1^2q=2$$ получаем:

при $$q=2$$: $$x_1^2=1,\; x_1=\pm 1$$;

при $$q=-2$$: $$x_1^2=-1$$, что невозможно для действительных корней.

Следовательно, $$q=2$$ и $$x_1=\pm 1$$.

Тогда

$$a=-x_1(1+2)=-3x_1,\qquad b=-x_1\cdot 2^2(1+2)=-12x_1.$$

Если $$x_1=1$$, то $$a=-3,\; b=-12$$.

Если $$x_1=-1$$, то $$a=3,\; b=12$$.

Ответ

$$a=-3,\; b=-12$$ или $$a=3,\; b=12$$.