Упр.1446 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Синусы двух острых углов треугольника равны $$0{,}6$$ и $$0{,}8$$. Найдите косинус третьего угла.

Пусть два острых угла треугольника равны $$\beta$$ и $$\gamma$$. Тогда

$$\sin \beta = 0{,}6,\qquad \sin \gamma = 0{,}8.$$

Так как углы острые, их косинусы положительны:

$$\cos \beta = \sqrt{1-\sin^2 \beta}=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8,$$

$$\cos \gamma = \sqrt{1-\sin^2 \gamma}=\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6.$$

Третий угол треугольника равен $$\alpha=180^\circ-\beta-\gamma,$$ поэтому

$$\cos \alpha=\cos(180^\circ-\beta-\gamma)=-\cos(\beta+\gamma).$$

Но удобнее заметить, что для острых углов треугольника $$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ,$$ значит

$$\cos \alpha=\sin \beta \sin \gamma-\cos \beta \cos \gamma.$$

Подставим значения:

$$\cos \alpha=0{,}6\cdot 0{,}8-0{,}8\cdot 0{,}6=0.$$

Ответ

$$0$$