Упр.1445 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) v3cos(?)-sin(?); в) sin(?)+cos(?);
б) sin(?)-cos(?); г) sin(?)-v3cos(?).

Подробный ответ

Используем формулу приведения выражения к виду $$A\sin x+B\cos x=R\sin(x+\varphi)$$ или $$R\cos(x+\varphi)$$, где максимальное значение равно $$R$$, а минимальное — $$-R$$.

$$\sqrt{3}\cos\beta-\sin\beta=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta-\frac12\sin\beta\right)=2\left(\sin\frac{\pi}{3}\cos\beta-\cos\frac{\pi}{3}\sin\beta\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\beta\right).$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$2$$, наименьшее — $$-2$$.
$$\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha\right)=\sqrt{2}\left(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right).$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\sqrt{2}$$, наименьшее — $$-\sqrt{2}$$.
$$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha\right)=\sqrt{2}\left(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right).$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\sqrt{2}$$, наименьшее — $$-\sqrt{2}$$.
$$\sin\beta-\sqrt{3}\cos\beta=2\left(\frac12\sin\beta-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta\right)=2\left(\sin\beta\cos\frac{\pi}{3}-\cos\beta\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\left(\beta-\frac{\pi}{3}\right).$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$2$$, наименьшее — $$-2$$.