Упр.1444 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Упростите выражение:

1. а) $$({\operatorname{tg}}(?)-1){\operatorname{tg}}(?) + ({\operatorname{tg}}(?) + {\operatorname{tg}}(?)){\operatorname{ctg}}(?+?);$$ б) $$\frac{{\operatorname{tg}}(?+?) — ({\operatorname{tg}}(?) + {\operatorname{tg}}(?))}{{\operatorname{tg}}(?) {\operatorname{tg}}(?) {\operatorname{tg}}(?+?)} — 1.$$

а) Используем формулу

$$\ctg(a+b)=\frac{1-\tg a \tg b}{\tg a+\tg b}.$$

Тогда

$$(\tg a-1)\tg b+(\tg a+\tg b)\ctg(a+b)$$

$$=(\tg a-1)\tg b+(\tg a+\tg b)\cdot \frac{1-\tg a \tg b}{\tg a+\tg b}$$

$$=(\tg a-1)\tg b+1-\tg a \tg b$$

$$=\tg a \tg b-\tg b+1-\tg a \tg b =1-\tg b.$$

б) Снова применим формулу

$$\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a \tg b}.$$

Тогда

$$\frac{\tg(a+b)-(\tg a+\tg b)}{\tg a \tg b \tg(a+b)}-1$$

$$=\frac{\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a \tg b}-(\tg a+\tg b)}{\tg a \tg b \tg(a+b)}-1$$

$$=\frac{(\tg a+\tg b)\left(\frac{1}{1-\tg a \tg b}-1\right)}{\tg a \tg b \tg(a+b)}-1$$

$$=\frac{(\tg a+\tg b)\cdot \frac{\tg a \tg b}{1-\tg a \tg b}}{\tg a \tg b \tg(a+b)}-1$$

$$=\frac{\tg a+\tg b}{(1-\tg a \tg b)\tg(a+b)}-1.$$

Так как

$$\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a \tg b},$$

то

$$\frac{\tg a+\tg b}{(1-\tg a \tg b)\tg(a+b)}=1.$$

Следовательно,

$$1-1=0.$$

Ответ

а) $$1-\tg b$$; б) $$0$$.